Cho 2 điểm A(-1,2) và B(3;4) và đường thẳng Δ : 2x+y-5=0. Viết phương trình đường tròn (C) tâm O và tiếp xúc với đường thẳng Δ. ( giải chi tiết giúp mình với ạ)

Question

Accepted Answer

Để viết phương trình đường tròn (C) tâm O và tiếp xúc với đường thẳng Δ, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng Δ:
   - Đường thẳng Δ có phương trình: $2x + y - 5 = 0$.
   - Tâm O của đường tròn (C) là giao điểm của đường thẳng Δ và đường thẳng vuông góc với Δ đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB.

2. Tìm trung điểm M của đoạn thẳng AB:
   - Tọa độ của A là (-1, 2) và B là (3, 4).
   - Trung điểm M của đoạn thẳng AB là:
     $$
     M = \left( \frac{-1 + 3}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = (1, 3)
     $$

3. Tìm phương trình đường thẳng vuông góc với Δ đi qua M:
   - Đường thẳng Δ có dạng $2x + y - 5 = 0$. Hệ số góc của Δ là $-2$.
   - Đường thẳng vuông góc với Δ sẽ có hệ số góc là $\frac{1}{2}$ (vì tích của hai hệ số góc là $-1$).
   - Phương trình đường thẳng đi qua M(1, 3) và có hệ số góc $\frac{1}{2}$ là:
     $$
     y - 3 = \frac{1}{2}(x - 1) \implies 2(y - 3) = x - 1 \implies x - 2y + 5 = 0
     $$

4. Tìm giao điểm O của hai đường thẳng Δ và đường thẳng vuông góc với Δ:
   - Giải hệ phương trình:
     $$
     \begin{cases}
     2x + y - 5 = 0 \
     x - 2y + 5 = 0
     \end{cases}
     $$
   - Nhân phương trình thứ hai với 2 rồi cộng với phương trình thứ nhất:
     $$
     2(x - 2y + 5) + (2x + y - 5) = 0 \implies 2x - 4y + 10 + 2x + y - 5 = 0 \implies 4x - 3y + 5 = 0
     $$
   - Thay $y$ từ phương trình $2x + y - 5 = 0$ vào:
     $$
     y = 5 - 2x
     $$
   - Thay vào phương trình $x - 2y + 5 = 0$:
     $$
     x - 2(5 - 2x) + 5 = 0 \implies x - 10 + 4x + 5 = 0 \implies 5x - 5 = 0 \implies x = 1
     $$
   - Thay $x = 1$ vào $y = 5 - 2x$:
     $$
     y = 5 - 2(1) = 3
     $$
   - Vậy giao điểm O là (1, 3).

5. Tính khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng Δ:
   - Khoảng cách từ điểm (1, 3) đến đường thẳng $2x + y - 5 = 0$ là:
     $$
     d = \frac{|2(1) + 3 - 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 3 - 5|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{5}} = 0
     $$
   - Điều này cho thấy tâm O nằm trên đường thẳng Δ, do đó bán kính R của đường tròn là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng Δ, tức là 0.

6. Viết phương trình đường tròn (C):
   - Vì tâm O là (1, 3) và bán kính R là 0, phương trình đường tròn (C) là:
     $$
     (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 0
     $$

Đáp số: $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 0$