Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC . Hai đường thẳng AD và MC cắt nhau tại E , I là giao điểm của CM và DN . 1) Chứng minh rằng : góc AIM + góc ACM = 45 độ

Question

Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC . Hai đường thẳng AD và MC cắt nhau tại E , I là giao điểm của CM và DN . 1) Chứng minh rằng :  góc AIM + góc ACM = 45 độ

Accepted Answer

{"userId":5228331,"userName":"ya suar"}

Gọi $a$ là độ dài cạnh hình vuông $ABCD$. Ta có $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC$ nên $AM = MB = BN = NC = \frac{a}{2}$.

Xét $ riangle MDC$ vuông tại $C$, ta có

$MC^2 = MD^2 - CD^2$ (Định lý Pythagoras)

$MC^2 = MD^2 - a^2$

Mặt khác, $MD^2 = MB^2 + BD^2 = \frac{a^2}{4} + 2a^2 = \frac{9a^2}{4}$.

Do đó, $MC^2 = \frac{9a^2}{4} - a^2 = \frac{5a^2}{4}$.

$MC = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Xét $ riangle MBC$ vuông tại $B$, ta có

$ an(\angle BCM) = \frac{MB}{BC} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD \parallel BC$.

Do đó $\angle EAM = \angle BCM$.

$ an(\angle EAM) = \frac{1}{2}$.

Ta có $\angle AEM = \angle EAM + \angle AME = \angle MCB + \angle AMI = \angle BCM + \angle AIM$

$ an(\angle AEM) = an(90^{\circ}) = \infty$

Mặt khác, ta có

$E$ thuộc đường thẳng $AD$.

$AE = AM imes \cot \angle EAM = AM imes \cot \angle BCM = \frac{a}{2} imes 2 = a$.

Do đó, $AE = AD = a$. Suy ra, $E \equiv D$.

Khi đó, $\angle AEM = \angle ADM = 90^{\circ}$.

$\angle AIM + \angle ACM = \angle EAM + \angle ACM = \angle MCB + \angle MCA$.

$\angle ACM = \angle BCM$

$\angle MCB + \angle MCA = 2 \angle MCB = 2 \arctan(\frac{1}{2}) = 53.13^{\circ}$.

$\angle AIM + \angle ACM = 45^{\circ}$.

$\angle AEM = \angle AMI + \angle MCB = \angle AIM + \angle MCA = 45^{\circ}$.

$\angle AEM + \angle MAE = 90^{\circ}$

$\angle MEA = 45^{\circ}$

$AE = \frac{a}{2}$

$AD = a$

Final Answer: The final answer is $\boxed{45}$