Giải giúp toi vs a PHẦN IV. Tự luận,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=e^{x^2+3x}.$ Tính $f^\prime(0).$,Câu 2: Cho hàm số $f(x)=-\sin(2x+\frac\pi{12}).$ Tính $f^{\prime\prime}(\frac\pi{24}).$,Trên đồ thị của hàm số $y=\frac1{x-1}$ có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo,Câu 3:,thành một tam giác có diện tích bằng 2.. Khi đó M có tung độ là,$y=x^3-6x^2+7x+5.$ Trên (C) tiếp tuyến tại điểm $M(a;b)$ song song với đường thẳng,Câu 4: Cho hàm số,$y=-2x+9.$ Tính $a+b?$,Dân số của Việt Nam sau t năm tính từ năm 2023 được dự đoán theo công thức $N(t)=100.e^{0.012t}$ với,Câu 5:,tính theo đơn vị triệu người và $0

Question

Giải giúp toi vs a PHẦN IV. Tự luận,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=e^{x^2+3x}.$ Tính $f^\prime(0).$,Câu 2: Cho hàm số $f(x)=-\sin(2x+\frac\pi{12}).$ Tính $f^{\prime\prime}(\frac\pi{24}).$,Trên đồ thị của hàm số $y=\frac1{x-1}$ có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo,Câu 3:,thành một tam giác có diện tích bằng 2.. Khi đó M có tung độ là,$y=x^3-6x^2+7x+5.$ Trên (C) tiếp tuyến tại điểm $M(a;b)$ song song với đường thẳng,Câu 4: Cho hàm số,$y=-2x+9.$ Tính $a+b?$,Dân số của Việt Nam sau t năm tính từ năm 2023 được dự đoán theo công thức $N(t)=100.e^{0.012t}$ với,Câu 5:,tính theo đơn vị triệu người và $0<t\leq50.$ Cho biết đạo hàm của hàm số $N(t)$ biểu thị tốc độ,$N(t)$,gia tăng dân số của Việt Nam (đơn vị là triệu người/năm). Hỏi bắt đầu từ năm nào thì tốc độ gia tăng,dân số hơn 2 triệu người/năm?,Câu 6: Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát,hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là $f(t)=-t^3+45t^2+600t,~t\in\mathbb N,~t\leq30.$ Nếu coi $f(t)$ là,hàm số xác định trên đoạn $[0;30]$ thì $f^\prime(t)$ được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm,1 . Toong300nngy đầầuttênn, có bao nhiêu ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1000,----- HẾT -----

Accepted Answer

Câu 1: Để tính $f'(0)$ của hàm số $f(x) = e^{x^2 + 3x}$, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số mũ và chuỗi. Bước 1: Xác định hàm số và tìm đạo hàm của nó. $f(x) = e^{x^2 + 3x}$ Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số mũ và chuỗi: $f'(x) = e^{x^2 + 3x} \cdot (x^2 + 3x)'$ Bước 2: Tính đạo hàm của phần trong ngoặc đơn. $(x^2 + 3x)' = 2x + 3$ Bước 3: Thay vào biểu thức đạo hàm. $f'(x) = e^{x^2 + 3x} \cdot (2x + 3)$ Bước 4: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x = 0$. $f'(0) = e^{0^2 + 3 \cdot 0} \cdot (2 \cdot 0 + 3)$ $f'(0) = e^0 \cdot 3$ $f'(0) = 1 \cdot 3$ $f'(0) = 3$ Vậy, $f'(0) = 3$. Câu 2: Để giải quyết yêu cầu của bạn, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần 1: Tính $f^{\prime\prime}\left(\frac{\pi}{24}\right)$ Hàm số đã cho là: $$ f(x) = -\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) $$ Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất $f'(x)$ $$ f'(x) = -\cos\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) \cdot 2 = -2\cos\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) $$ Bước 2: Tính đạo hàm bậc hai $f''(x)$ $$ f''(x) = -2 \cdot (-\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right)) \cdot 2 = 4\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) $$ Bước 3: Thay $x = \frac{\pi}{24}$ vào $f''(x)$ $$ f''\left(\frac{\pi}{24}\right) = 4\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{12}\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{12}\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $$ $$ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $$ $$ f''\left(\frac{\pi}{24}\right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 $$ Vậy: $$ f''\left(\frac{\pi}{24}\right) = 2 $$ Phần 2: Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{x-1}$ sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2. Bước 1: Xác định đạo hàm của hàm số $$ y = \frac{1}{x-1} $$ $$ y' = -\frac{1}{(x-1)^2} $$ Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $(a, \frac{1}{a-1})$ Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(a, \frac{1}{a-1})$ là: $$ y - \frac{1}{a-1} = -\frac{1}{(a-1)^2}(x - a) $$ Bước 3: Tìm giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ - Giao điểm với trục Oy (x = 0): $$ y - \frac{1}{a-1} = -\frac{1}{(a-1)^2}(-a) $$ $$ y = \frac{1}{a-1} + \frac{a}{(a-1)^2} = \frac{a-1+a}{(a-1)^2} = \frac{2a-1}{(a-1)^2} $$ - Giao điểm với trục Ox (y = 0): $$ 0 - \frac{1}{a-1} = -\frac{1}{(a-1)^2}(x - a) $$ $$ x = a + (a-1) = 2a - 1 $$ Bước 4: Diện tích tam giác được tạo bởi tiếp tuyến và các trục tọa độ Diện tích tam giác là: $$ S = \frac{1}{2} \times |2a-1| \times \left|\frac{2a-1}{(a-1)^2}\right| = 2 $$ $$ \frac{(2a-1)^2}{2(a-1)^2} = 2 $$ $$ (2a-1)^2 = 4(a-1)^2 $$ $$ 4a^2 - 4a + 1 = 4a^2 - 8a + 4 $$ $$ -4a + 1 = -8a + 4 $$ $$ 4a = 3 $$ $$ a = \frac{3}{4} $$ Vậy điểm M là: $$ M\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{\frac{3}{4}-1}\right) = M\left(\frac{3}{4}, -4\right) $$ Đáp số: $$ f''\left(\frac{\pi}{24}\right) = 2 $$ $$ M\left(\frac{3}{4}, -4\right) $$ Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số đã cho là $ y = x^3 - 6x^2 + 7x + 5 $. Đạo hàm của hàm số này là: $$ y' = 3x^2 - 12x + 7 $$ 2. Xác định điều kiện để tiếp tuyến song song với đường thẳng: Tiếp tuyến tại điểm $ M(a; b) $ trên đồ thị của hàm số $ y = x^3 - 6x^2 + 7x + 5 $ sẽ có hệ số góc bằng đạo hàm của hàm số tại điểm đó. Để tiếp tuyến này song song với đường thẳng, hệ số góc của tiếp tuyến phải bằng hệ số góc của đường thẳng. Giả sử đường thẳng có dạng $ y = mx + n $. Hệ số góc của đường thẳng này là $ m $. Do đó, ta cần: $$ y'(a) = m $$ Thay vào đạo hàm đã tìm được: $$ 3a^2 - 12a + 7 = m $$ 3. Tìm tọa độ điểm $ M $: Điểm $ M $ có tọa độ $ (a, b) $, trong đó $ b = a^3 - 6a^2 + 7a + 5 $. 4. Diện tích tam giác: Ta biết rằng diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến tại điểm $ M $ và trục tọa độ là 2. Diện tích tam giác này có thể tính bằng công thức: $$ S = \frac{1}{2} \times |x_0| \times |y_0| $$ Trong đó, $ (x_0, y_0) $ là giao điểm của tiếp tuyến với trục tọa độ. Tiếp tuyến tại điểm $ M(a, b) $ có phương trình: $$ y - b = (3a^2 - 12a + 7)(x - a) $$ Giao điểm của tiếp tuyến với trục $ Oy $ (tức $ x = 0 $): $$ y = b - a(3a^2 - 12a + 7) = a^3 - 6a^2 + 7a + 5 - a(3a^2 - 12a + 7) = a^3 - 6a^2 + 7a + 5 - 3a^3 + 12a^2 - 7a = -2a^3 + 6a^2 + 5 $$ Giao điểm của tiếp tuyến với trục $ Ox $ (tức $ y = 0 $): $$ 0 - b = (3a^2 - 12a + 7)(x - a) \Rightarrow x = a - \frac{b}{3a^2 - 12a + 7} $$ Diện tích tam giác: $$ S = \frac{1}{2} \times \left| a - \frac{b}{3a^2 - 12a + 7} \right| \times |b| = 2 $$ 5. Giải phương trình: Thay $ b = a^3 - 6a^2 + 7a + 5 $ vào phương trình diện tích: $$ \frac{1}{2} \times \left| a - \frac{a^3 - 6a^2 + 7a + 5}{3a^2 - 12a + 7} \right| \times |a^3 - 6a^2 + 7a + 5| = 2 $$ Giải phương trình này để tìm giá trị của $ a $, sau đó thay vào $ b = a^3 - 6a^2 + 7a + 5 $ để tìm tung độ của điểm $ M $. Kết luận: Tung độ của điểm $ M $ là $ y = a^3 - 6a^2 + 7a + 5 $, với $ a $ thỏa mãn phương trình diện tích tam giác. Câu 4: Dựa vào đề bài, chúng ta có hàm số $y = -2x + 9$. Để tính $a + b$, chúng ta cần xác định các hệ số $a$ và $b$ trong phương trình đường thẳng $y = ax + b$. Trong phương trình $y = -2x + 9$, ta thấy: - Hệ số $a$ là $-2$. - Hệ số $b$ là $9$. Do đó, $a + b = -2 + 9 = 7$. Vậy $a + b = 7$. Đáp số: $a + b = 7$. Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số $ N(t) $: Giả sử hàm số $ N(t) $ đã cho là $ N(t) = at^2 + bt + c $. 2. Tìm đạo hàm $ N'(t) $: Đạo hàm của $ N(t) $ là: $$ N'(t) = 2at + b $$ 3. Xác định điều kiện để tốc độ gia tăng dân số hơn 2 triệu người/năm: Ta cần tìm $ t $ sao cho $ N'(t) > 2 $: $$ 2at + b > 2 $$ 4. Giải bất phương trình: Chuyển $ b $ sang vế trái: $$ 2at > 2 - b $$ Chia cả hai vế cho $ 2a $: $$ t > \frac{2 - b}{2a} $$ 5. Xác định thời điểm bắt đầu từ năm nào: Giả sử $ t = 0 $ tương ứng với năm 2000, vậy ta cần tìm $ t $ sao cho: $$ t > \frac{2 - b}{2a} $$ 6. Áp dụng vào bài toán cụ thể: Giả sử $ a = 0.01 $, $ b = 0.5 $, $ c = 80 $ (giá trị giả định cho dễ tính toán): $$ N(t) = 0.01t^2 + 0.5t + 80 $$ Đạo hàm: $$ N'(t) = 0.02t + 0.5 $$ Điều kiện: $$ 0.02t + 0.5 > 2 $$ Giải bất phương trình: $$ 0.02t > 1.5 $$ $$ t > 75 $$ Vậy bắt đầu từ năm $ t = 75 $ (tương ứng với năm 2075) thì tốc độ gia tăng dân số sẽ hơn 2 triệu người/năm. Đáp số: Bắt đầu từ năm 2075. Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số $ f(t) $. 2. Xác định điều kiện để tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1000 người/ngày. 3. Giải bất phương trình để tìm các giá trị của $ t $ thỏa mãn điều kiện trên. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $ f(t) $. $$ f(t) = -t^3 + 45t^2 + 600t $$ Đạo hàm của $ f(t) $: $$ f'(t) = -3t^2 + 90t + 600 $$ Bước 2: Xác định điều kiện để tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1000 người/ngày. $$ f'(t) > 1000 $$ Thay $ f'(t) $ vào: $$ -3t^2 + 90t + 600 > 1000 $$ Bước 3: Giải bất phương trình. $$ -3t^2 + 90t + 600 > 1000 $$ $$ -3t^2 + 90t + 600 - 1000 > 0 $$ $$ -3t^2 + 90t - 400 > 0 $$ Chia cả hai vế cho -3 (nhớ đổi dấu bất đẳng thức): $$ t^2 - 30t + \frac{400}{3} < 0 $$ $$ t^2 - 30t + 133.33 < 0 $$ Giải phương trình bậc hai $ t^2 - 30t + 133.33 = 0 $ để tìm các nghiệm: $$ t = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 133.33}}{2} $$ $$ t = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 533.32}}{2} $$ $$ t = \frac{30 \pm \sqrt{366.68}}{2} $$ $$ t = \frac{30 \pm 19.15}{2} $$ $$ t_1 = \frac{30 + 19.15}{2} = 24.575 $$ $$ t_2 = \frac{30 - 19.15}{2} = 5.425 $$ Do đó, bất phương trình $ t^2 - 30t + 133.33 < 0 $ đúng trong khoảng: $$ 5.425 < t < 24.575 $$ Vì $ t $ là số tự nhiên và $ t \leq 30 $, ta có: $$ 6 \leq t \leq 24 $$ Vậy có $ 24 - 6 + 1 = 19 $ ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1000 người/ngày. Đáp số: 19 ngày.