giúp tớ với Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):~x-2y+2z-2=0$ và điểm,$I(-1;2;-1).$ Biết mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C) có,diện tích là 25x. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:,a) (NB) Bán kính đường tròn (C) là $r=5.$,b) (NB) Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là 3.,c) (TH) Tâm đường tròn (C) có tọa độ là $H(1;3;1).$,d) (TH) Phương trình mặt cầu (S) là $(x+1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=16.$

Question

Accepted Answer

Câu 13.
Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

a) Bán kính đường tròn (C) là $ r = 5 $.

Diện tích của đường tròn (C) là $ 25\pi $. Công thức tính diện tích của đường tròn là:
$$ S = \pi r^2 $$

Do đó:
$$ 25\pi = \pi r^2 $$
$$ r^2 = 25 $$
$$ r = 5 $$

Khẳng định này là đúng.

b) Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là 3.

Khoảng cách từ điểm $ I(-1, 2, -1) $ đến mặt phẳng $ (P): x - 2y + 2z - 2 = 0 $ được tính bằng công thức:
$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Ở đây, $ a = 1 $, $ b = -2 $, $ c = 2 $, $ d = -2 $, $ x_0 = -1 $, $ y_0 = 2 $, $ z_0 = -1 $:
$$ d = \frac{|1(-1) + (-2)(2) + 2(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} $$
$$ d = \frac{|-1 - 4 - 2 - 2|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} $$
$$ d = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} $$
$$ d = \frac{9}{3} $$
$$ d = 3 $$

Khẳng định này là đúng.

c) Tâm đường tròn (C) có tọa độ là $ H(1, 3, 1) $.

Tâm đường tròn (C) nằm trên đường thẳng vuông góc hạ từ tâm mặt cầu $ I(-1, 2, -1) $ xuống mặt phẳng (P). Đường thẳng này có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $ \vec{n} = (1, -2, 2) $.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $ I $ và vuông góc với (P) là:
$$ x = -1 + t $$
$$ y = 2 - 2t $$
$$ z = -1 + 2t $$

Để tìm giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng (P), thay vào phương trình của (P):
$$ (-1 + t) - 2(2 - 2t) + 2(-1 + 2t) - 2 = 0 $$
$$ -1 + t - 4 + 4t - 2 + 4t - 2 = 0 $$
$$ 9t - 9 = 0 $$
$$ t = 1 $$

Thay $ t = 1 $ vào phương trình tham số:
$$ x = -1 + 1 = 0 $$
$$ y = 2 - 2(1) = 0 $$
$$ z = -1 + 2(1) = 1 $$

Vậy tâm đường tròn (C) là $ H(0, 0, 1) $, không phải $ H(1, 3, 1) $.

Khẳng định này là sai.

d) Phương trình mặt cầu (S) là $ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 16 $.

Bán kính của mặt cầu (S) là khoảng cách từ tâm $ I(-1, 2, -1) $ đến tâm đường tròn (C) cộng với bán kính đường tròn (C).

Khoảng cách từ $ I $ đến $ H $ là:
$$ d_{IH} = \sqrt{(0 + 1)^2 + (0 - 2)^2 + (1 + 1)^2} $$
$$ d_{IH} = \sqrt{1 + 4 + 4} $$
$$ d_{IH} = \sqrt{9} $$
$$ d_{IH} = 3 $$

Bán kính của mặt cầu (S) là:
$$ R = \sqrt{d_{IH}^2 + r^2} $$
$$ R = \sqrt{3^2 + 5^2} $$
$$ R = \sqrt{9 + 25} $$
$$ R = \sqrt{34} $$

Phương trình mặt cầu (S) là:
$$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 34 $$

Khẳng định này là sai.

Kết luận:
- Khẳng định a) là đúng.
- Khẳng định b) là đúng.
- Khẳng định c) là sai.
- Khẳng định d) là sai.