Giải bài tập Câu 12. Tìm $\int\frac8{x^2-4x+3}dx$,

$A.~4\ln\frac{x-1}{x-3}+C$,$B.~-4\ln\frac{x-1}{x-3}+C$
$C.~4\ln|\frac{x-1}{x-3}|+C$,$D.~-4\ln|\frac{x-1}{x-3}|+C$

,Câu 13. Tìm $\int1(-3x+6)^4dx$,

$A.~\frac14(-3x+6)^5+C$,$B.~-\frac1{15}(-3x+6)^5+C$
$C.~-\frac1{12}(-3x+6)^5+C$,$D.~\frac15(-3x+6)^5+C$

,Câu 14. Tìm $\int\frac1{(4x-3)^4}dx$,

$A.~-\frac13\frac1{(4x-3)^5}+C$,$B.~-\frac13\frac1{(4x-3)^3}+C$
$C.~-\frac1{12}\frac1{(4x-3)^5}+C$,$D.~-\frac1{12}\frac1{(4x-3)^3}+C$

,Câu 15. Tìm $\int\frac{-4}{-5x+5}dx$

Question

Giải bài tập Câu 12. Tìm $\int\frac8{x^2-4x+3}dx$,

$A.~4\ln\frac{x-1}{x-3}+C$,$B.~-4\ln\frac{x-1}{x-3}+C$
$C.~4\ln|\frac{x-1}{x-3}|+C$,$D.~-4\ln|\frac{x-1}{x-3}|+C$

,Câu 13. Tìm $\int1(-3x+6)^4dx$,

$A.~\frac14(-3x+6)^5+C$,$B.~-\frac1{15}(-3x+6)^5+C$
$C.~-\frac1{12}(-3x+6)^5+C$,$D.~\frac15(-3x+6)^5+C$

,Câu 14. Tìm $\int\frac1{(4x-3)^4}dx$,

$A.~-\frac13\frac1{(4x-3)^5}+C$,$B.~-\frac13\frac1{(4x-3)^3}+C$
$C.~-\frac1{12}\frac1{(4x-3)^5}+C$,$D.~-\frac1{12}\frac1{(4x-3)^3}+C$

,Câu 15. Tìm $\int\frac{-4}{-5x+5}dx$

Accepted Answer

Câu 12.
Để tính $\int\frac{8}{x^2-4x+3}dx$, ta thực hiện các bước sau:

1. Phân tích mẫu số thành nhân tử:
   Ta thấy rằng:
   $$
   x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
   $$

2. Phân tích tích phân thành tổng của hai tích phân đơn giản hơn:
   Ta viết lại tích phân dưới dạng:
   $$
   \int \frac{8}{(x-1)(x-3)} dx
   $$
   Ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích thành tổng của hai phân thức riêng biệt:
   $$
   \frac{8}{(x-1)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3}
   $$
   Nhân cả hai vế với $(x-1)(x-3)$ để tìm $A$ và $B$:
   $$
   8 = A(x-3) + B(x-1)
   $$
   Đặt $x = 1$ vào phương trình trên:
   $$
   8 = A(1-3) + B(1-1) \Rightarrow 8 = -2A \Rightarrow A = -4
   $$
   Đặt $x = 3$ vào phương trình trên:
   $$
   8 = A(3-3) + B(3-1) \Rightarrow 8 = 2B \Rightarrow B = 4
   $$
   Vậy ta có:
   $$
   \frac{8}{(x-1)(x-3)} = \frac{-4}{x-1} + \frac{4}{x-3}
   $$

3. Tính tích phân từng phần:
   $$
   \int \frac{8}{(x-1)(x-3)} dx = \int \left( \frac{-4}{x-1} + \frac{4}{x-3} \right) dx
   $$
   Tách thành hai tích phân riêng biệt:
   $$
   = -4 \int \frac{1}{x-1} dx + 4 \int \frac{1}{x-3} dx
   $$
   Tích phân từng phần:
   $$
   = -4 \ln |x-1| + 4 \ln |x-3| + C
   $$

4. Gộp kết quả lại:
   $$
   = 4 (\ln |x-3| - \ln |x-1|) + C
   $$
   Sử dụng tính chất của lôgarit:
   $$
   = 4 \ln \left| \frac{x-3}{x-1} \right| + C
   $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ D.~4 \ln \left| \frac{x-3}{x-1} \right| + C $$

Câu 13.
Để tính $\int (-3x + 6)^4 \, dx$, ta sử dụng phương pháp đổi biến số.

Bước 1: Đặt $u = -3x + 6$.

Bước 2: Tính vi phân của $u$: 
$$ du = -3 \, dx $$
$$ dx = -\frac{1}{3} \, du $$

Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu:
$$ \int (-3x + 6)^4 \, dx = \int u^4 \left( -\frac{1}{3} \right) \, du $$
$$ = -\frac{1}{3} \int u^4 \, du $$

Bước 4: Tính tích phân:
$$ -\frac{1}{3} \int u^4 \, du = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^5}{5} + C $$
$$ = -\frac{1}{15} u^5 + C $$

Bước 5: Thay trở lại $u = -3x + 6$:
$$ -\frac{1}{15} (-3x + 6)^5 + C $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ B.~-\frac{1}{15}(-3x+6)^5 + C $$

Câu 14.
Để tính $\int \frac{1}{(4x-3)^4} dx$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số.

Bước 1: Đặt $u = 4x - 3$. 
Khi đó, $du = 4 dx$ hoặc $dx = \frac{1}{4} du$.

Bước 2: Thay vào biểu thức nguyên hàm:
$$
\int \frac{1}{(4x-3)^4} dx = \int \frac{1}{u^4} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^{-4} du
$$

Bước 3: Tính nguyên hàm của $u^{-4}$:
$$
\frac{1}{4} \int u^{-4} du = \frac{1}{4} \left( \frac{u^{-3}}{-3} \right) + C = -\frac{1}{12} u^{-3} + C
$$

Bước 4: Thay trở lại $u = 4x - 3$:
$$
-\frac{1}{12} u^{-3} + C = -\frac{1}{12} \frac{1}{(4x-3)^3} + C
$$

Vậy đáp án đúng là:
$$
D.~-\frac{1}{12} \frac{1}{(4x-3)^3} + C
$$

Câu 15.
Để tính $\int\frac{-4}{-5x+5}dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định phương pháp tích phân.
Phương pháp tích phân này dựa trên công thức $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + C$.

Bước 2: Xác định $f(x)$ và $f'(x)$.
Trong tích phân $\int\frac{-4}{-5x+5}dx$, ta nhận thấy rằng $f(x) = -5x + 5$. 
Tính đạo hàm của $f(x)$: $f'(x) = -5$.

Bước 3: Tính tích phân.
Ta có:
$$
\int\frac{-4}{-5x+5}dx = \int \frac{-4}{-5x+5} dx = \int \frac{-4}{-5} \cdot \frac{-5}{-5x+5} dx = \frac{4}{5} \int \frac{-5}{-5x+5} dx
$$
Áp dụng công thức $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + C$, ta có:
$$
\frac{4}{5} \int \frac{-5}{-5x+5} dx = \frac{4}{5} \ln |-5x+5| + C
$$

Vậy, kết quả của tích phân là:
$$
\int\frac{-4}{-5x+5}dx = \frac{4}{5} \ln |-5x+5| + C
$$