giúp voiw ạa 13. Xếp 3 bạn học sinh lớp A, 2 bạn học sinh lớp B, 1 bạn học sinh lớp C thành một,hàng ngang. Có bao nhiêu cách xếp sao cho hai bạn học sinh cùng lớp không,đứng cạnh nhau?

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp "điều chỉnh" trong tổ hợp, nghĩa là tính tổng số cách xếp mà không có bất kỳ ràng buộc nào, sau đó trừ đi số cách xếp mà vi phạm điều kiện (hai bạn cùng lớp đứng cạnh nhau).

Bước 1: Tính tổng số cách xếp 6 bạn học sinh mà không có bất kỳ ràng buộc nào.
Tổng số cách xếp 6 bạn học sinh là:
$$ 6! = 720 $$

Bước 2: Tính số cách xếp mà vi phạm điều kiện (hai bạn cùng lớp đứng cạnh nhau). Chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp cụ thể:

- Trường hợp 1: Hai bạn lớp B đứng cạnh nhau.
  - Xem hai bạn lớp B như một nhóm, ta có 5 nhóm (gồm 4 bạn lớp A, 1 nhóm lớp B và 1 bạn lớp C).
  - Số cách xếp 5 nhóm này là:
    $$ 5! = 120 $$
  - Số cách xếp 2 bạn lớp B trong nhóm là:
    $$ 2! = 2 $$
  - Tổng số cách xếp trong trường hợp này là:
    $$ 120 \times 2 = 240 $$

- Trường hợp 2: Hai bạn lớp A đứng cạnh nhau.
  - Xem hai bạn lớp A như một nhóm, ta có 5 nhóm (gồm 1 nhóm lớp A, 2 bạn lớp B, 1 bạn lớp C và 1 bạn lớp A còn lại).
  - Số cách xếp 5 nhóm này là:
    $$ 5! = 120 $$
  - Số cách xếp 2 bạn lớp A trong nhóm là:
    $$ 2! = 2 $$
  - Tổng số cách xếp trong trường hợp này là:
    $$ 120 \times 2 = 240 $$

- Trường hợp 3: Ba bạn lớp A đứng cạnh nhau.
  - Xem ba bạn lớp A như một nhóm, ta có 4 nhóm (gồm 1 nhóm lớp A, 2 bạn lớp B và 1 bạn lớp C).
  - Số cách xếp 4 nhóm này là:
    $$ 4! = 24 $$
  - Số cách xếp 3 bạn lớp A trong nhóm là:
    $$ 3! = 6 $$
  - Tổng số cách xếp trong trường hợp này là:
    $$ 24 \times 6 = 144 $$

Bước 3: Tính số cách xếp mà vi phạm điều kiện (tổng của các trường hợp trên):
$$ 240 + 240 + 144 = 624 $$

Bước 4: Tính số cách xếp thỏa mãn điều kiện (tổng số cách xếp trừ đi số cách xếp vi phạm điều kiện):
$$ 720 - 624 = 96 $$

Vậy số cách xếp sao cho hai bạn học sinh cùng lớp không đứng cạnh nhau là:
$$ \boxed{96} $$