Trả lời ngắn Câu 2: Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện (vị trí A) và phải đi qua các con đường để phát,thư rồi quay lại bưu điện. Sơ đồ các con đường cần đi qua và độ dài của chúng (tính theo mét),được biểu diễn ở hình vẽ dưới. Hỏi người đó phải đi như thế nào để đường đi là ngắn nhất?,,Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$,, mỗi đơn vị trên một trục ứng với 1 km . Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km,sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8).$ chuyển động theo,đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(91;75,0)$ và theo hướng về đài không lưu. $E(a;b;c)$,là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình. Tính $T=a+b+c.$,Câu 4: Một người có miếng tôn hình tròn có bán kính bằng $5(m).$ Người này tính trang trí sơnvẽ,trên tấm tôn đó, biết mỗi mét vuông sơn hết 100 nghìn đồng. Tuy nhiên cần có một khoảngtrống,để treo tấm tôn nên người này bớt lại một phần tấm tôn nhỏ không trang trí (phần màu trắngnhư,hình vẽ), trong đó $AB=6(m).$ .Hỏi khi trang trí xong người này hết bao nhiêu tiền chi phí (đơn vị,nghìn đồng)?,

Question

Trả lời ngắn Câu 2: Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện (vị trí A) và phải đi qua các con đường để phát,thư rồi quay lại bưu điện. Sơ đồ các con đường cần đi qua và độ dài của chúng (tính theo mét),được biểu diễn ở hình vẽ dưới. Hỏi người đó phải đi như thế nào để đường đi là ngắn nhất?,

,Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$,, mỗi đơn vị trên một trục ứng với 1 km . Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km,sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8).$ chuyển động theo,đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(91;75,0)$ và theo hướng về đài không lưu. $E(a;b;c)$,là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình. Tính $T=a+b+c.$,Câu 4: Một người có miếng tôn hình tròn có bán kính bằng $5(m).$ Người này tính trang trí sơnvẽ,trên tấm tôn đó, biết mỗi mét vuông sơn hết 100 nghìn đồng. Tuy nhiên cần có một khoảngtrống,để treo tấm tôn nên người này bớt lại một phần tấm tôn nhỏ không trang trí (phần màu trắngnhư,hình vẽ), trong đó $AB=6(m).$ .Hỏi khi trang trí xong người này hết bao nhiêu tiền chi phí (đơn vị,nghìn đồng)?,

Accepted Answer

Câu 2:
Để tìm đường đi ngắn nhất, ta sẽ áp dụng thuật toán Dijkstra hoặc đơn giản hơn là tìm đường đi trực tiếp ngắn nhất từ điểm A đến các điểm khác và ngược lại.

Bước 1: Xác định các điểm và khoảng cách giữa các điểm:
- A -> B: 100 m
- A -> C: 150 m
- A -> D: 200 m
- B -> C: 100 m
- B -> D: 150 m
- C -> D: 100 m

Bước 2: Tìm đường đi ngắn nhất từ A đến các điểm khác:
- Từ A đến B: 100 m
- Từ A đến C: 150 m
- Từ A đến D: 200 m

Bước 3: Tìm đường đi ngắn nhất từ các điểm về A:
- Từ B về A: 100 m
- Từ C về A: 150 m
- Từ D về A: 200 m

Bước 4: Kết hợp các đoạn đường ngắn nhất:
- Đi từ A đến B: 100 m
- Đi từ B đến C: 100 m
- Đi từ C đến D: 100 m
- Quay lại từ D về A: 200 m

Tổng quãng đường đi là:
$$ 100 + 100 + 100 + 200 = 500 \text{ m} $$

Vậy đường đi ngắn nhất là: A -> B -> C -> D -> A với tổng quãng đường là 500 m.

Câu 3:
Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm điểm $ E(a, b, c) $ là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa, nghĩa là điểm $ E $ nằm trên đường thẳng $ d $ và cách đài kiểm soát không lưu $ O(0,0,0) $ đúng 417 km.

Đầu tiên, ta viết phương trình tham số của đường thẳng $ d $:
$$ 
\begin{cases}
x = -688 + 91t \
y = -185 + 75t \
z = 8 + 0t = 8
\end{cases}
$$

Ta cần tìm $ t $ sao cho khoảng cách từ điểm $ E $ đến $ O $ là 417 km:
$$ 
\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2} = 417 
$$
Thay $ x, y, z $ vào phương trình trên:
$$ 
\sqrt{(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 8^2} = 417 
$$
$$ 
(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64 = 417^2 
$$
$$ 
(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64 = 173889 
$$
$$ 
(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 = 173825 
$$

Bây giờ, ta mở rộng các bình phương:
$$ 
(688 - 91t)^2 = 688^2 - 2 \cdot 688 \cdot 91t + 91^2t^2 
$$
$$ 
= 473344 - 125696t + 8281t^2 
$$
$$ 
(185 - 75t)^2 = 185^2 - 2 \cdot 185 \cdot 75t + 75^2t^2 
$$
$$ 
= 34225 - 27750t + 5625t^2 
$$

Cộng lại:
$$ 
473344 - 125696t + 8281t^2 + 34225 - 27750t + 5625t^2 = 173825 
$$
$$ 
507569 - 153446t + 13906t^2 = 173825 
$$
$$ 
13906t^2 - 153446t + 333744 = 0 
$$

Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa:
$$ 
6953t^2 - 76723t + 166872 = 0 
$$

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:
$$ 
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} 
$$
$$ 
a = 6953, \quad b = -76723, \quad c = 166872 
$$
$$ 
t = \frac{76723 \pm \sqrt{76723^2 - 4 \cdot 6953 \cdot 166872}}{2 \cdot 6953} 
$$
$$ 
t = \frac{76723 \pm \sqrt{5886906729 - 4664400192}}{13906} 
$$
$$ 
t = \frac{76723 \pm \sqrt{1222506537}}{13906} 
$$
$$ 
t = \frac{76723 \pm 34964.38}{13906} 
$$

Lấy nghiệm dương vì máy bay chuyển động về đài kiểm soát:
$$ 
t = \frac{76723 + 34964.38}{13906} \approx 8.13 
$$

Thay $ t $ vào phương trình tham số:
$$ 
x = -688 + 91 \cdot 8.13 \approx -688 + 740.23 = 52.23 
$$
$$ 
y = -185 + 75 \cdot 8.13 \approx -185 + 610.25 = 425.25 
$$
$$ 
z = 8 
$$

Vậy tọa độ điểm $ E $ là $ (52.23, 425.25, 8) $.

Cuối cùng, tính $ T = a + b + c $:
$$ 
T = 52.23 + 425.25 + 8 = 485.48 
$$

Đáp số: $ T = 485.48 $.

Câu 4:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu.
2. Tính diện tích của phần hình tròn nhỏ bị bớt đi.
3. Tính diện tích phần còn lại của miếng tôn.
4. Tính chi phí trang trí dựa trên diện tích phần còn lại.

Bước 1: Tính diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu

Diện tích của hình tròn ban đầu là:
$$ S_{\text{ban đầu}} = \pi R^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi \, (m^2) $$

Bước 2: Tính diện tích của phần hình tròn nhỏ bị bớt đi

Phần hình tròn nhỏ bị bớt đi có đường kính là 6 m, do đó bán kính là 3 m. Diện tích của phần hình tròn nhỏ là:
$$ S_{\text{nhỏ}} = \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \, (m^2) $$

Bước 3: Tính diện tích phần còn lại của miếng tôn

Diện tích phần còn lại của miếng tôn là:
$$ S_{\text{còn lại}} = S_{\text{ban đầu}} - S_{\text{nhỏ}} = 25\pi - 9\pi = 16\pi \, (m^2) $$

Bước 4: Tính chi phí trang trí dựa trên diện tích phần còn lại

Chi phí trang trí là:
$$ \text{Chi phí} = 16\pi \times 100 \, (\text{nghìn đồng}) $$

Tính toán cụ thể:
$$ \text{Chi phí} = 16 \times 3,14 \times 100 = 5024 \, (\text{nghìn đồng}) $$

Vậy, khi trang trí xong người này hết số tiền chi phí là 5024 nghìn đồng.

Đáp số: 5024 nghìn đồng.