Giải bài tập

Câu 49: Để tìm số lượng các vectơ khác $$ sao cho điểm đầu và điểm cuối của mỗi vectơ đó là hai trong 18 điểm đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định số điểm: Có 18 điểm phân biệt. 2. Lựa chọn điểm đầu và điểm cuối: Mỗi vectơ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối. Ta có thể chọn điểm đầu từ 18 điểm và điểm cuối từ 17 điểm còn lại (vì điểm cuối không thể trùng với điểm đầu). 3. Tính số vectơ: Số lượng các vectơ khác $$ là số cách chọn điểm đầu và điểm cuối từ 18 điểm. Điều này tương đương với số cách chọn 2 điểm từ 18 điểm, nhưng điểm đầu và điểm cuối phải khác nhau. Số cách chọn điểm đầu là 18 cách. Sau khi chọn điểm đầu, số cách chọn điểm cuối là 17 cách (vì điểm cuối không thể trùng với điểm đầu). Do đó, tổng số vectơ khác $$ là: $$ Vậy, có 306 vectơ khác $$ sao cho điểm đầu và điểm cuối của mỗi vectơ đó là hai trong 18 điểm đã cho. Câu 50. Để học sinh nam và học sinh nữ xen kẽ nhau, chúng ta có thể xếp theo hai trường hợp sau: 1. Trường hợp đầu tiên bắt đầu bằng học sinh nam: - Có 5 học sinh nam, do đó có 5 cách để chọn học sinh nam đứng đầu. - Sau đó, có 5 học sinh nữ, do đó có 5 cách để chọn học sinh nữ đứng thứ hai. - Tiếp theo, còn lại 4 học sinh nam, do đó có 4 cách để chọn học sinh nam đứng thứ ba. - Tiếp tục tương tự, chúng ta sẽ có các cách sắp xếp cho các học sinh còn lại. Số cách sắp xếp trong trường hợp này là: $$ 2. Trường hợp thứ hai bắt đầu bằng học sinh nữ: - Có 5 học sinh nữ, do đó có 5 cách để chọn học sinh nữ đứng đầu. - Sau đó, có 5 học sinh nam, do đó có 5 cách để chọn học sinh nam đứng thứ hai. - Tiếp theo, còn lại 4 học sinh nữ, do đó có 4 cách để chọn học sinh nữ đứng thứ ba. - Tiếp tục tương tự, chúng ta sẽ có các cách sắp xếp cho các học sinh còn lại. Số cách sắp xếp trong trường hợp này cũng là: $$ Tổng số cách sắp xếp để học sinh nam và học sinh nữ xen kẽ nhau là: $$ Vậy, số cách sắp xếp để học sinh nam và học sinh nữ xen kẽ nhau là 28800. Câu 51: Để tìm bán kính của đường tròn tâm $$ và tiếp xúc với đường thẳng $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách từ điểm $$ đến đường thẳng $$: - Công thức khoảng cách từ một điểm $$ đến đường thẳng $$ là: $$ - Thay $$ và $$, $$, $$ vào công thức: $$ 2. Kết luận: - Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $$, khoảng cách từ tâm $$ đến đường thẳng $$ chính là bán kính của đường tròn. - Vậy bán kính của đường tròn là $$. Đáp số: Bán kính của đường tròn là $$. Câu 52. Để tính xác suất lấy ra được 2 viên bi vàng từ trong hộp, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách lấy ra 2 viên bi từ hộp: - Tổng số viên bi trong hộp là: 4 (bi đỏ) + 4 (bi xanh) + 2 (bi vàng) = 10 viên bi. - Số cách lấy ra 2 viên bi từ 10 viên bi là: $$ 2. Tìm số cách lấy ra 2 viên bi vàng: - Số viên bi vàng trong hộp là 2 viên. - Số cách lấy ra 2 viên bi vàng từ 2 viên bi vàng là: $$ 3. Tính xác suất lấy ra được 2 viên bi vàng: - Xác suất lấy ra được 2 viên bi vàng là: $$ Vậy xác suất lấy ra được 2 viên bi vàng là $$. Câu 53. Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng $$ đi qua điểm $$ và có vectơ chỉ phương $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình tham số của đường thẳng: - Đường thẳng $$ đi qua điểm $$ và có vectơ chỉ phương $$. - Phương trình tham số của đường thẳng $$ là: $$ trong đó $$ là tham số. 2. Xóa tham số $$ để tìm phương trình tổng quát: - Từ phương trình tham số $$, ta có: $$ - Thay $$ vào phương trình $$: $$ - Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số: $$ - Rút gọn phương trình: $$ $$ - Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để viết phương trình tổng quát: $$ Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $$ là: $$ Câu 54. Tập hợp X có 50 số, trong đó có 25 số chẵn và 25 số lẻ. Số cách chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập hợp X là: $$ Số cách chọn 2 số chẵn từ 25 số chẵn là: $$ Xác suất của biến cố A là: $$ Đáp số: $$ Câu 55. Để tính xác suất của biến cố B, ta cần xác định số cách chọn 6 quân bài sao cho trong đó có 1 tứ quý và tổng số cách chọn 6 quân bài từ bộ bài tú lơ khơ. Bước 1: Xác định tổng số cách chọn 6 quân bài từ bộ bài tú lơ khơ. Tổng số cách chọn 6 quân bài từ 52 quân bài là: $$ Bước 2: Xác định số cách chọn 6 quân bài sao cho trong đó có 1 tứ quý. - Số cách chọn 1 tứ quý từ 13 loại tứ quý khác nhau là: $$ - Sau khi đã chọn 1 tứ quý (4 quân bài), ta cần chọn thêm 2 quân bài từ 48 quân bài còn lại (vì đã chọn 4 quân bài trong tứ quý): $$ Vậy số cách chọn 6 quân bài sao cho trong đó có 1 tứ quý là: $$ Bước 3: Tính xác suất của biến cố B. Xác suất của biến cố B là: $$ Ta biết rằng: $$ Vậy xác suất của biến cố B là: $$ Đáp số: $$