dùng bất đẳng thức bunyakovsky Xét các số thực không âm a, b, c thỏa mãn $\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c=3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức,$P=\sqrt{(b+4)(c+a+3)}+\sqrt{(c+4)(a+b+3)}.$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = \sqrt{(b+4)(c+a+3)} + \sqrt{(c+4)(a+b+3)} $ với điều kiện $ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 3 $, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky.

Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai cặp số $(b+4)$ và $(c+a+3)$, cũng như $(c+4)$ và $(a+b+3)$:

$$
\sqrt{(b+4)(c+a+3)} \geq \frac{b+4+c+a+3}{2} = \frac{a+b+c+7}{2}
$$

$$
\sqrt{(c+4)(a+b+3)} \geq \frac{c+4+a+b+3}{2} = \frac{a+b+c+7}{2}
$$

Bước 2: Cộng hai bất đẳng thức trên lại:

$$
\sqrt{(b+4)(c+a+3)} + \sqrt{(c+4)(a+b+3)} \geq \frac{a+b+c+7}{2} + \frac{a+b+c+7}{2} = a + b + c + 7
$$

Bước 3: Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $a + b + c + 7$. Để làm điều này, ta sử dụng điều kiện $ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 3 $.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số thực không âm $\sqrt{a}$, $\sqrt{b}$, $\sqrt{c}$:

$$
(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2 \leq 3(a + b + c)
$$

Do $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 3$, ta có:

$$
9 \leq 3(a + b + c) \implies a + b + c \geq 3
$$

Bước 4: Thay $a + b + c = 3$ vào biểu thức $a + b + c + 7$:

$$
a + b + c + 7 \geq 3 + 7 = 10
$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là 10, đạt được khi $a + b + c = 3$.

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là 10, đạt được khi $a + b + c = 3$.