Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho $\Delta ABC$ có $AB=AC$ và $\widehat{BAC}=100^0.$ Tia phân giác của góc B cắt,AC tại D, qua A kẻ đường vuông góc với BD cắt BC ở I.,a) Chứng minh rằng BD là trung trực của AI.,b) Trên tia đối của tia DB lấy K sao cho $DK=DA.$ Chứng minh rằng tam giác,AIK là một tam giác đều.,c) Chứng minh rằng $BK=BC.$,d) Lấy điểm E thuộc BD. Chứng minh rằng $BC+EAAB+EC.$

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho $\Delta ABC$ có $AB=AC$ và $\widehat{BAC}=100^0.$ Tia phân giác của góc B cắt,AC tại D, qua A kẻ đường vuông góc với BD cắt BC ở I.,a) Chứng minh rằng BD là trung trực của AI.,b) Trên tia đối của tia DB lấy K sao cho $DK=DA.$ Chứng minh rằng tam giác,AIK là một tam giác đều.,c) Chứng minh rằng $BK=BC.$,d) Lấy điểm E thuộc BD. Chứng minh rằng $BC+EA>AB+EC.$

Accepted Answer

a) Ta có $\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$. 
Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (vì $\Delta ABC$ cân tại A) nên $\widehat{ABD}=\widehat{ACB}$. 
Do đó $AI\perp BD$ (giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc). 
Lại có $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (vì AD là phân giác của $\widehat{BAC}$) nên $\Delta ABD=\Delta ACD$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông). 
Suy ra $AD=CD$. 
Mặt khác, ta có $\widehat{AID}=\widehat{CID}=90^0$ (vì $AI\perp BD$) nên $\Delta AID=\Delta CID$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông). 
Suy ra $AI=CI$. 
Vậy BD là trung trực của AI. 
b) Ta có $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ (vì AI là phân giác của $\widehat{BAC}$) nên $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=50^0$. 
Mặt khác, ta có $\widehat{ABI}=\widehat{CBI}$ (vì BI là phân giác của $\widehat{ABC}$) nên $\widehat{ABI}=\widehat{CBI}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=40^0$. 
Do đó $\widehat{AIB}=180^0-\widehat{BAI}-\widehat{ABI}=90^0$. 
Vậy $\Delta AIB$ là tam giác vuông cân tại I. 
Suy ra $AI=BI$. 
Mặt khác, ta có $AD=CD$ (chứng minh trên) và $DK=DA$ (theo bài ra) nên $DK=CD$. 
Do đó $\Delta DKC=\Delta DKA$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông). 
Suy ra $\widehat{DKC}=\widehat{DKA}$. 
Mặt khác, ta có $\widehat{DKC}+\widehat{DKA}=180^0$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{DKC}=\widehat{DKA}=90^0$. 
Vậy $\Delta DKC$ và $\Delta DKA$ là các tam giác vuông cân tại K. 
Suy ra $KC=KA$. 
Vậy $\Delta AIK$ là tam giác đều (cạnh bên bằng nhau và góc giữa chúng bằng 60^0). 
c) Ta có $\widehat{BIC}=\widehat{BAC}=100^0$ (góc ngoài của tam giác nội tiếp) nên $\widehat{BIC}=\widehat{BAC}$. 
Mặt khác, ta có $\widehat{IBC}=\widehat{ABC}$ (vì BI là phân giác của $\widehat{ABC}$) nên $\widehat{IBC}=\widehat{ABC}$. 
Do đó $\Delta BIC=\Delta BAC$ (góc đỉnh và hai góc bên kề bằng nhau). 
Suy ra $BC=BI$. 
Mặt khác, ta có $BI=AK$ (vì $\Delta AIK$ là tam giác đều) nên $BC=AK$. 
d) Ta có $BC=AK$ (chứng minh trên) và $AE+EK>AK$ (tổng hai cạnh của tam giác lớn hơn cạnh còn lại) nên $BC+EA>AB+EC$.