Giải hộ mik vs ạ 1: Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30cm. Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và,GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Khi,thể tích khối lăng trụ lớn nhất thì khoảng cách từ A đến mặt phẳng (EFGH) bằng bao nhiêu ?, ,Vaic đại,Scực đại,là 1 đều.

Question

Giải hộ mik vs ạ 1: Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30cm. Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và,GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Khi,thể tích khối lăng trụ lớn nhất thì khoảng cách từ A đến mặt phẳng (EFGH) bằng bao nhiêu ?,

,Vaic đại,Scực đại,là 1 đều.

Accepted Answer

{"userId":5408447,"userName":"Như Quỳnh"}

Gọi $x$ là độ dài cạnh của hình vuông nhỏ ở giữa, tức là $EF = GH = x$.

Khi đó $AE = BF = CG = DH = \frac{30 - x}{2}$.

Do AD và BC trùng nhau nên $AB = 30$.

Gọi h là chiều cao của hình lăng trụ. Ta có $h = \sqrt{AE^2 - (\frac{x}{2})^2} = \sqrt{(\frac{30-x}{2})^2 - (\frac{x}{2})^2} = \sqrt{\frac{900 - 60x}{4}} = \frac{\sqrt{900 - 60x}}{2}$.

Thể tích khối lăng trụ là:

$V = x \cdot h \cdot AB = 30x \cdot \frac{\sqrt{900 - 60x}}{2} = 15x\sqrt{900 - 60x}$.

Đặt $f(x) = x^2(900 - 60x) = 900x^2 - 60x^3$.

$f'(x) = 1800x - 180x^2 = 0 \Rightarrow x = 10$ (vì $x e 0$).

$f''(x) = 1800 - 360x$.

$f''(10) = 1800 - 3600 = -1800 < 0$ nên $x=10$ là giá trị làm cho $f(x)$ đạt cực đại.

Khi đó $h = \frac{\sqrt{900 - 600}}{2} = \frac{\sqrt{300}}{2} = 5\sqrt{3}$.

Gọi M là trung điểm của AB, khi đó $AM = 15$.

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (EFGH) bằng khoảng cách từ A đến GH.

Gọi N là trung điểm của GH. Khi đó MN = 15.

Gọi d là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (EFGH).

Ta có $h^2 + d^2 = AM^2$

$d = \sqrt{AM^2 - h^2} = \sqrt{15^2 - (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{225 - 75} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6}$.

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (EFGH) là $5\sqrt{6}$.

Đáp số: $5\sqrt{6}$ cm.