Giải chi tiết (ABC) là trung điểm H của BC ... -ưp S.BBC óó ááy ACCllà tmm giác vuông tại A Hình chiếu của S lên mặt phẳng,$AB=a,~AC=a\sqrt3,~SB=a\sqrt2.$,Câu 14. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích

Question

Giải chi tiết (ABC) là trung điểm H của BC  ... -ưp  S.BBC óó ááy ACCllà tmm giác vuông tại A   Hình chiếu của S lên mặt phẳng,$AB=a,~AC=a\sqrt3,~SB=a\sqrt2.$,Câu 14. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích

Accepted Answer

Câu 14.
Để tính thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính diện tích đáy ABC:
   - Vì đáy ABC là tam giác đều với cạnh bằng $a$, diện tích đáy $S_{ABC}$ được tính theo công thức:
     $$
     S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
     $$

2. Tính chiều cao SO của khối chóp từ đỉnh S xuống đáy ABC:
   - Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Ta biết rằng trong tam giác đều, tâm nội tiếp cũng là trung điểm của đường cao hạ từ đỉnh đến đáy.
   - Chiều cao của tam giác đều ABC là:
     $$
     h_{ABC} = \frac{a \sqrt{3}}{2}
     $$
   - Khoảng cách từ tâm O đến một đỉnh của tam giác đều ABC (tức là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều) là:
     $$
     R = \frac{a \sqrt{3}}{3}
     $$
   - Xét tam giác SOA, ta có:
     $$
     SA = 2a, \quad OA = \frac{a \sqrt{3}}{3}
     $$
   - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOA:
     $$
     SO^2 + OA^2 = SA^2
     $$
     $$
     SO^2 + \left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right)^2 = (2a)^2
     $$
     $$
     SO^2 + \frac{a^2 \cdot 3}{9} = 4a^2
     $$
     $$
     SO^2 + \frac{a^2}{3} = 4a^2
     $$
     $$
     SO^2 = 4a^2 - \frac{a^2}{3}
     $$
     $$
     SO^2 = \frac{12a^2 - a^2}{3}
     $$
     $$
     SO^2 = \frac{11a^2}{3}
     $$
     $$
     SO = \frac{a \sqrt{33}}{3}
     $$

3. Tính thể tích khối chóp S.ABC:
   - Thể tích $V$ của khối chóp được tính theo công thức:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SO
     $$
   - Thay các giá trị đã tìm được vào công thức:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times \frac{a \sqrt{33}}{3}
     $$
     $$
     V = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times \frac{a \sqrt{33}}{3}
     $$
     $$
     V = \frac{a^3 \sqrt{99}}{36}
     $$

Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là:
$$
V = \frac{a^3 \sqrt{99}}{36}
$$