Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có A(a;0;0), B(-a; 0; 0), C(0;1;0), B'(-a; 0;b) trong đó a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b = 4. Gọi là mặt phẳng (a) chứa B'C và song...

Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh của lăng trụ đứng ABC.A'B'C'. 2. Tìm phương trình của mặt phẳng (α) chứa B'C và song song với AC'. 3. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α). 4. Tìm giá trị của a và b để khoảng cách từ A đến (α) là lớn nhất. 5. Tính bán kính R của mặt cầu đi qua sáu điểm A, B, C, A', B', C'. Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của lăng trụ đứng ABC.A'B'C'. - A(a;0;0) - B(-a;0;0) - C(0;1;0) - A'(a;0;b) - B'(-a;0;b) - C'(0;1;b) Bước 2: Tìm phương trình của mặt phẳng (α) chứa B'C và song song với AC'. - Vector B'C = (0 - (-a); 1 - 0; 0 - b) = (a; 1; -b) - Vector AC' = (0 - a; 1 - 0; b - 0) = (-a; 1; b) Mặt phẳng (α) chứa B'C và song song với AC' có vectơ pháp tuyến là: $$ Phương trình mặt phẳng (α) có dạng: $$ Do (α) chứa điểm B'(−a; 0; b), thay vào phương trình: $$ Vậy phương trình mặt phẳng (α) là: $$ Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α). Khoảng cách từ điểm A(a;0;0) đến mặt phẳng (α) là: $$ Bước 4: Tìm giá trị của a và b để khoảng cách từ A đến (α) là lớn nhất. Ta có: $$ $$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $$ $$ $$ Để d lớn nhất thì $$ phải lớn nhất. Ta có: $$ Vậy $$ khi $$. Bước 5: Tính bán kính R của mặt cầu đi qua sáu điểm A, B, C, A', B', C'. - Tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng AA', BB', CC'. - Tọa độ tâm mặt cầu là $$. Bán kính R của mặt cầu là khoảng cách từ tâm đến một trong các đỉnh, ví dụ đỉnh A: $$ Vậy bán kính R của mặt cầu là: $$