Chưa học đã có trong đề cương

Câu 2: a) Ta có $$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với (P) tại điểm có hoành độ bằng $$ là $$. b) Phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm $$ là: $$ c) Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến với (P) tại điểm $$, ta thay $$ vào biểu thức của $$: $$ Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với (P) tại điểm $$ là $$. d) Phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm $$ là: $$ Ta đã biết $$ và $$. Thay vào ta có: $$ $$ $$ Vậy phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm $$ là $$. Câu 1. Trước tiên, ta nhận thấy rằng đường thẳng $$ vuông góc với mặt phẳng $$. Do đó, góc giữa đường thẳng $$ và mặt phẳng $$ chính là góc giữa đường thẳng $$ và hình chiếu của nó trên mặt phẳng $$, tức là đoạn thẳng $$. Ta có: - $$ - $$ Trong tam giác $$, ta có: - $$ vuông góc với $$, do đó tam giác $$ là tam giác vuông tại $$. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác $$: $$ Góc giữa đường thẳng $$ và mặt phẳng $$ là góc $$ giữa $$ và $$. Ta có: $$ Biết rằng $$, suy ra: $$ Vậy góc giữa đường thẳng $$ và mặt phẳng $$ là $$. Đáp số: $$. Câu 2. Để tính đạo hàm của hàm số $$ tại điểm $$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $$. Ta có: $$ Áp dụng công thức đạo hàm của các đơn thức: $$ Bước 2: Thay $$ vào đạo hàm $$. $$ $$ $$ $$ Vậy đạo hàm của hàm số $$ tại điểm $$ là 42. Đáp số: $$. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức $$, trong đó: - $$ là tổng số tiền cả gốc lẫn lãi sau n năm, - $$ là số tiền ban đầu gửi vào, - $$ là lãi suất/năm, - $$ là số năm. Trong bài toán này: - Số tiền ban đầu gửi vào $$ triệu đồng, - Lãi suất/năm $$, - Chúng ta cần tìm số năm $$ sao cho tổng số tiền cả gốc lẫn lãi sau n năm vượt quá 1 tỉ đồng, tức là $$ triệu đồng. Áp dụng công thức, ta có: $$ Ta cần tìm $$ sao cho: $$ Chia cả hai vế cho 200: $$ Bây giờ, ta sẽ thử các giá trị của $$ để tìm ra giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên. - Khi $$: $$ $$ - Khi $$: $$ $$ - Khi $$: $$ $$ - Khi $$: $$ $$ - Khi $$: $$ $$ - Khi $$: $$ $$ Như vậy, sau ít nhất 42 năm thì tổng số tiền cả gốc lẫn lãi của ông A sẽ vượt quá 1 tỉ đồng. Đáp số: 42 năm. Câu 4. Để tính xác suất của sự kiện $$ khi $$ và $$ là hai biến cố độc lập, ta sử dụng công thức: $$ Trước tiên, ta cần tính $$. Vì $$ và $$ là hai biến cố độc lập, nên ta có: $$ Thay các giá trị đã cho vào công thức trên: $$ Bây giờ, ta thay các giá trị vào công thức ban đầu để tính $$: $$ $$ $$ $$ Vậy xác suất của sự kiện $$ là: $$ Câu 1: Để giải phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình đã cho không chứa các ràng buộc đặc biệt về biến số $$, do đó ĐKXĐ là $$. Bước 2: Xét phương trình Phương trình ban đầu là: $$ Bước 3: So sánh hai vế - Ta thấy rằng vế trái là một lũy thừa của $$, trong khi vế phải là một lũy thừa của $$ nhân với $$. Điều này cho thấy vế phải luôn luôn âm vì $$ luôn dương, còn $$ là số âm. Do đó, vế phải luôn luôn âm. - Vế trái là một lũy thừa của $$, do đó luôn dương. Do đó, phương trình này không thể có nghiệm vì một số dương không thể bằng một số âm. Kết luận: Phương trình $$ không có nghiệm. Câu 2: Để tính thể tích khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích đáy ABCD: Vì ABCD là hình vuông cạnh bằng a, nên diện tích đáy là: $$ 2. Tìm chiều cao của khối chóp từ đỉnh S xuống đáy ABCD: Ta biết rằng các mặt bên SAB và SAD nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABCD. Do đó, đường thẳng SA sẽ là đường cao của khối chóp từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Chiều cao này đã cho là $$. 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: Thể tích $$ của khối chóp được tính theo công thức: $$ Trong đó, $$ là diện tích đáy và $$ là chiều cao của khối chóp. Thay các giá trị vào công thức: $$ Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là: $$ Câu 3: Để tìm vận tốc nhỏ nhất của chất điểm trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 10 giây, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương trình vận tốc. Vận tốc $$ của chất điểm là đạo hàm của phương trình chuyển động $$: $$ Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $$ trên khoảng $$. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $$, ta làm như sau: - Tính đạo hàm của $$: $$ - Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình $$: $$ $$ Bước 3: Kiểm tra giá trị của $$ tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại $$: $$ - Tại $$: $$ - Tại $$: $$ Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: - $$ - $$ - $$ Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là $$. Vậy vận tốc nhỏ nhất của chất điểm trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 10 giây là 5 m/s, đạt được khi $$ giây. Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số đã biết: - Chiều dài của mỗi cột: 2,28 m. - Góc nghiêng của dốc: $$. 2. Tìm khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường: - Khi dốc nghiêng $$, chiều cao từ đỉnh cột xuống mặt đường sẽ giảm đi theo chiều dọc của dốc. - Ta sử dụng công thức lượng giác để tính chiều cao thực từ đỉnh cột xuống mặt đường: $$ - Tính giá trị của $$: $$ - Do đó: $$ 3. So sánh chiều cao với yêu cầu của xe: - Chiều cao từ đỉnh cột xuống mặt đường là 2,20 m. - Xe có chiều cao 2,21 m. 4. Kết luận: - Vì chiều cao từ đỉnh cột xuống mặt đường là 2,20 m, nhỏ hơn chiều cao của xe (2,21 m), nên cầu không cho phép xe cao 2,21 m đi qua. Đáp số: - Khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường là 2,20 m. - Cầu không cho phép xe cao 2,21 m đi qua.