giải giúp mình với Bài tập 7: Một chuyển động theo qui luật là $s=-\frac12t^3+3t^2+20$ với t giây là khoảng thời gian tính từ khi,vật bắt đàu chuyển động và s ( mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Quãng,đường vật đi được bắt đầu từ lúc vật chuyển động tới thời điểm vật đạt được vận tốc lớn nhất bằng.,Bài tập 8: Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ (tính theo nghìn đô-la), để sản xuất x mặt hàng,là $H(x)=\sqrt{5x^2+60}$ và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong t tháng kể từ nay theo hàm số,$x(t)=20t+40.$ Chi phí sẽ tăng với tốc độ bao nhiêu nghìn đô-la/tháng sau 5 tháng kể từ khi công ty thực,hiện kế hoạch đó? (làm tròn đến hàng phần chục).,Bài tập 9: Cho một vật chuyển động theo phương trình $s(t)=t^2+mt+10.$ Trong đó: s là quãng đường,vật đi được (mét ) và t là thời gian vật chuyển động (giây). Xác định giá trị của tham số m biết tại thời,điểm $t=3$ thì vận tốc tức thời của vật là 4,5 m/s.,Bài tập 10: Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức,$f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$ (đơn vị: nghìn người). Biết rằng đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của,thị trấn (đơn vị: nghìn người/năm). Hỏi vào năm 2025, tốc độ tăng dân số của thị trấn này là bao nhiêu,nghìn người/năm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).,BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM,PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương,án.,Câu 1: Trên khoảng $(0;+\infty),$ hàm số $y=\sqrt x$ có đạo hàm là,$A.~y^\prime=\frac2{\sqrt x}.$ $ extcircled B.~y^\prime=\frac12\sqrt x.$ $C.~y^\prime=\frac1{2\sqrt x}.$ $D.~y^\prime=\frac1{\sqrt x}.$,Câu 2: Cho hàm số $f(x)=x^3+3x^2-9x+5.$ Tập nghiệm của bất phương trình $f(x)^\prime0$ là,$A.~(-\infty;-3)\cup(1;+\infty).$ $B.~(-\infty;-1)\cup(3;+\infty).$ $C.~(-3;1).$ $D.~(-1;3).$,Câu 3: Đạo hàm của hàm số $y=1-\cos2x$ là,$A.~y^\prime=-\sin2x.$ $B.~y^\prime=2\sin x.$ $C.~y^\prime=-2\sin2x.$ $D.~y^\prime=2\sin2x.$,Câu 4: Hàm số $y= an x+\sqrt3x$ có đạo hàm tại mọi $x
e\frac\pi2+k\pi,~k\in\mathbb Z$ là,$A.~y^\prime=\frac1{\cos^2x}.$ $B.~y^\prime=\frac1{\cos^2x}+\sqrt3.$ $C.~y^\prime=-\frac1{\cos^2x}.$ $D.~y^\prime=-\frac1{\cos^2x}+\sqrt3.$,Câu 5: Hàm số $y=\cos^25x$ có đạo hàm là,$A.~y^\prime=2\cos5x.$ $B.~y^\prime=10\cos5x.$ $C.~y^\prime=-5\sin10x.$ $D.~y^\prime=10\sin10x.$,Câu 6: Khẳng định nào sau đây sai?,$A.~(2^x)^\prime=2^x\ln2.$ $B.~(\ln x)^\prime=\frac1x.$ $C.~(\log_3x)^\prime=\frac1{x\ln3}.$ $D.~(e^{2x})^\prime=e^{2x}.$,Câu 7: Đạo hàm của hàm số $y=4^{x^2+3}$ là,$A.~y^\prime=(x^2+3).4^{x^2+3}.$ $B.~y^\prime=\ln4.4^{x^2+3}.$ $C.~y^\prime=2x.\ln4.4^{x^2+3}.$ $D.~y^\prime=2x.\ln2.2^{2x^2+6}.$,Câu 8: Cho hàm số $f(x)=\ln(e^{-x}+xe^{-x}).$ Giá trị $f^\prime(2)$ bằng,$A.~\frac13.$ $B.~\frac23.$ $C.~\frac{-2}3.$ $D.~\frac{-1}3.$,Câu 9: Một chất điểm chuyển động có phương trình $S=t^3-3t^2-9t+5,$ trong đó t được tính bằng,giây và S được tính bằng mét. Gia tốc tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là,$A.~12m/s^2.$ $B.~9m/s^2.$ $C.~-9m/s^2.$ $D.~-12m/s^2.$

Question

giải giúp mình với Bài tập 7: Một chuyển động theo qui luật là $s=-\frac12t^3+3t^2+20$ với t giây là khoảng thời gian tính từ khi,vật bắt đàu chuyển động và s ( mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Quãng,đường vật đi được bắt đầu từ lúc vật chuyển động tới thời điểm vật đạt được vận tốc lớn nhất bằng.,Bài tập 8: Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ (tính theo nghìn đô-la), để sản xuất x mặt hàng,là $H(x)=\sqrt{5x^2+60}$ và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong t tháng kể từ nay theo hàm số,$x(t)=20t+40.$ Chi phí sẽ tăng với tốc độ bao nhiêu nghìn đô-la/tháng sau 5 tháng kể từ khi công ty thực,hiện kế hoạch đó? (làm tròn đến hàng phần chục).,Bài tập 9: Cho một vật chuyển động theo phương trình $s(t)=t^2+mt+10.$ Trong đó: s là quãng đường,vật đi được (mét ) và t là thời gian vật chuyển động (giây). Xác định giá trị của tham số m biết tại thời,điểm $t=3$ thì vận tốc tức thời của vật là 4,5 m/s.,Bài tập 10: Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức,$f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$ (đơn vị: nghìn người). Biết rằng đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của,thị trấn (đơn vị: nghìn người/năm). Hỏi vào năm 2025, tốc độ tăng dân số của thị trấn này là bao nhiêu,nghìn người/năm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).,BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM,PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương,án.,Câu 1: Trên khoảng $(0;+\infty),$ hàm số $y=\sqrt x$ có đạo hàm là,$A.~y^\prime=\frac2{\sqrt x}.$ $	extcircled B.~y^\prime=\frac12\sqrt x.$ $C.~y^\prime=\frac1{2\sqrt x}.$ $D.~y^\prime=\frac1{\sqrt x}.$,Câu 2: Cho hàm số $f(x)=x^3+3x^2-9x+5.$ Tập nghiệm của bất phương trình $f(x)^\prime>0$ là,$A.~(-\infty;-3)\cup(1;+\infty).$ $B.~(-\infty;-1)\cup(3;+\infty).$ $C.~(-3;1).$ $D.~(-1;3).$,Câu 3: Đạo hàm của hàm số $y=1-\cos2x$ là,$A.~y^\prime=-\sin2x.$ $B.~y^\prime=2\sin x.$ $C.~y^\prime=-2\sin2x.$ $D.~y^\prime=2\sin2x.$,Câu 4: Hàm số $y=	an x+\sqrt3x$ có đạo hàm tại mọi $x
e\frac\pi2+k\pi,~k\in\mathbb Z$ là,$A.~y^\prime=\frac1{\cos^2x}.$ $B.~y^\prime=\frac1{\cos^2x}+\sqrt3.$ $C.~y^\prime=-\frac1{\cos^2x}.$ $D.~y^\prime=-\frac1{\cos^2x}+\sqrt3.$,Câu 5: Hàm số $y=\cos^25x$ có đạo hàm là,$A.~y^\prime=2\cos5x.$ $B.~y^\prime=10\cos5x.$ $C.~y^\prime=-5\sin10x.$ $D.~y^\prime=10\sin10x.$,Câu 6: Khẳng định nào sau đây sai?,$A.~(2^x)^\prime=2^x\ln2.$ $B.~(\ln x)^\prime=\frac1x.$ $C.~(\log_3x)^\prime=\frac1{x\ln3}.$ $D.~(e^{2x})^\prime=e^{2x}.$,Câu 7: Đạo hàm của hàm số $y=4^{x^2+3}$ là,$A.~y^\prime=(x^2+3).4^{x^2+3}.$ $B.~y^\prime=\ln4.4^{x^2+3}.$ $C.~y^\prime=2x.\ln4.4^{x^2+3}.$ $D.~y^\prime=2x.\ln2.2^{2x^2+6}.$,Câu 8: Cho hàm số $f(x)=\ln(e^{-x}+xe^{-x}).$ Giá trị $f^\prime(2)$ bằng,$A.~\frac13.$ $B.~\frac23.$ $C.~\frac{-2}3.$ $D.~\frac{-1}3.$,Câu 9: Một chất điểm chuyển động có phương trình $S=t^3-3t^2-9t+5,$ trong đó t được tính bằng,giây và S được tính bằng mét. Gia tốc tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là,$A.~12m/s^2.$ $B.~9m/s^2.$ $C.~-9m/s^2.$ $D.~-12m/s^2.$

Accepted Answer

Bài tập 7: Để tìm quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm vật đạt được vận tốc lớn nhất, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc của vật: Vận tốc $ v $ của vật là đạo hàm của quãng đường $ s $ theo thời gian $ t $: $$ v = \frac{ds}{dt} = -\frac{3}{2}t^2 + 6t $$ 2. Tìm thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất: Để tìm thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất, chúng ta cần tìm đạo hàm của vận tốc $ v $ theo thời gian $ t $ và đặt nó bằng 0: $$ \frac{dv}{dt} = -3t + 6 $$ Đặt $\frac{dv}{dt} = 0$: $$ -3t + 6 = 0 \implies t = 2 \text{ (giây)} $$ 3. Tính quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm $ t = 2 $ giây: Thay $ t = 2 $ vào phương trình quãng đường $ s $: $$ s(2) = -\frac{1}{2}(2)^3 + 3(2)^2 + 20 = -\frac{1}{2}(8) + 3(4) + 20 = -4 + 12 + 20 = 28 \text{ (mét)} $$ Vậy quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm vật đạt được vận tốc lớn nhất là 28 mét. Bài tập 8: Để tìm tốc độ tăng của chi phí sau 5 tháng, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm chi phí $ H(x) $ theo thời gian $ t $. Bước 1: Xác định hàm số $ H(x) $ và $ x(t) $: $$ H(x) = \sqrt{5x^2 + 60} $$ $$ x(t) = 20t + 40 $$ Bước 2: Thay $ x(t) $ vào $ H(x) $: $$ H(t) = \sqrt{5(20t + 40)^2 + 60} $$ Bước 3: Tính đạo hàm của $ H(t) $ theo $ t $: $$ H'(t) = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{5(20t + 40)^2 + 60} \right) $$ Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: $$ H'(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5(20t + 40)^2 + 60}} \cdot \frac{d}{dt} \left( 5(20t + 40)^2 + 60 \right) $$ Tính đạo hàm của biểu thức bên trong: $$ \frac{d}{dt} \left( 5(20t + 40)^2 + 60 \right) = 5 \cdot 2 \cdot (20t + 40) \cdot 20 = 200 \cdot (20t + 40) $$ Do đó: $$ H'(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5(20t + 40)^2 + 60}} \cdot 200 \cdot (20t + 40) $$ $$ H'(t) = \frac{100 \cdot (20t + 40)}{\sqrt{5(20t + 40)^2 + 60}} $$ Bước 4: Tính giá trị của $ H'(t) $ tại $ t = 5 $: $$ x(5) = 20 \cdot 5 + 40 = 140 $$ $$ H'(5) = \frac{100 \cdot 140}{\sqrt{5 \cdot 140^2 + 60}} $$ $$ H'(5) = \frac{14000}{\sqrt{5 \cdot 19600 + 60}} $$ $$ H'(5) = \frac{14000}{\sqrt{98000 + 60}} $$ $$ H'(5) = \frac{14000}{\sqrt{98060}} $$ $$ H'(5) \approx \frac{14000}{313.14} $$ $$ H'(5) \approx 44.71 $$ Vậy, chi phí sẽ tăng với tốc độ khoảng 44.7 nghìn đô-la/tháng sau 5 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó. Bài tập 9: Để xác định giá trị của tham số $ m $ biết rằng tại thời điểm $ t = 3 $ thì vận tốc tức thời của vật là 4,5 m/s, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc tức thời: Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của quãng đường $ s(t) $ theo thời gian $ t $. $$ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 + mt + 10) $$ Áp dụng quy tắc đạo hàm: $$ v(t) = 2t + m $$ 2. Thay thời điểm $ t = 3 $ vào công thức vận tốc tức thời: Ta biết rằng tại thời điểm $ t = 3 $, vận tốc tức thời là 4,5 m/s. Do đó, ta có: $$ v(3) = 2 \cdot 3 + m = 4,5 $$ 3. Giải phương trình để tìm giá trị của $ m $: $$ 6 + m = 4,5 $$ $$ m = 4,5 - 6 $$ $$ m = -1,5 $$ Vậy giá trị của tham số $ m $ là $-1,5$. Bài tập 10: Để tìm tốc độ tăng dân số của thị trấn vào năm 2025, ta cần tính đạo hàm của hàm số $ f(t) $ và sau đó thay giá trị $ t $ tương ứng vào đạo hàm đó. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $ f(t) $. Hàm số $ f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5} $. Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: $$ f'(t) = \frac{(26t + 10)'(t + 5) - (26t + 10)(t + 5)'}{(t + 5)^2} $$ Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: $$ (26t + 10)' = 26 $$ $$ (t + 5)' = 1 $$ Thay vào công thức: $$ f'(t) = \frac{26(t + 5) - (26t + 10)}{(t + 5)^2} $$ $$ f'(t) = \frac{26t + 130 - 26t - 10}{(t + 5)^2} $$ $$ f'(t) = \frac{120}{(t + 5)^2} $$ Bước 2: Xác định giá trị của $ t $ vào năm 2025. Năm 2025 cách năm 1970 là: $$ t = 2025 - 1970 = 55 $$ Bước 3: Thay $ t = 55 $ vào đạo hàm $ f'(t) $. $$ f'(55) = \frac{120}{(55 + 5)^2} $$ $$ f'(55) = \frac{120}{60^2} $$ $$ f'(55) = \frac{120}{3600} $$ $$ f'(55) = \frac{1}{30} \approx 0.0333 $$ Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: $$ f'(55) \approx 0.03 $$ Vậy vào năm 2025, tốc độ tăng dân số của thị trấn này là khoảng 0.03 nghìn người/năm. Câu 1: Để tìm đạo hàm của hàm số $ y = \sqrt{x} $ trên khoảng $ (0; +\infty) $, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng của hàm số. Hàm số $ y = \sqrt{x} $ có thể viết lại dưới dạng $ y = x^{\frac{1}{2}} $. Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa. Công thức đạo hàm của hàm số $ y = x^n $ là $ y' = n \cdot x^{n-1} $. Áp dụng công thức này cho hàm số $ y = x^{\frac{1}{2}} $: $$ y' = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} $$ $$ y' = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} $$ Bước 3: Chuyển đổi về dạng căn thức. $$ y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} $$ $$ y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} $$ $$ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ Vậy đạo hàm của hàm số $ y = \sqrt{x} $ là: $$ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ \textcircled{C}.~y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $. 2. Giải bất phương trình $ f'(x) > 0 $. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $. Hàm số đã cho là: $$ f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 5 $$ Tìm đạo hàm của $ f(x) $: $$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 9x + 5) $$ $$ f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 $$ Bước 2: Giải bất phương trình $ f'(x) > 0 $. Ta có: $$ f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 $$ Để giải bất phương trình $ 3x^2 + 6x - 9 > 0 $, trước tiên ta giải phương trình $ 3x^2 + 6x - 9 = 0 $. Phương trình $ 3x^2 + 6x - 9 = 0 $ có thể được viết lại thành: $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Ở đây, $ a = 1 $, $ b = 2 $, và $ c = -3 $: $$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} $$ $$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} $$ $$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} $$ $$ x = \frac{-2 \pm 4}{2} $$ Do đó, ta có hai nghiệm: $$ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 $$ Phương trình $ x^2 + 2x - 3 = 0 $ có hai nghiệm $ x = -3 $ và $ x = 1 $. Bây giờ, ta xét dấu của biểu thức $ 3x^2 + 6x - 9 $ trên các khoảng được xác định bởi các nghiệm $ x = -3 $ và $ x = 1 $: - Khi $ x < -3 $, chọn $ x = -4 $: $$ 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 $$ - Khi $ -3 < x < 1 $, chọn $ x = 0 $: $$ 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0 $$ - Khi $ x > 1 $, chọn $ x = 2 $: $$ 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình $ f'(x) > 0 $ là: $$ (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) $$ Đáp án đúng là: $$ A.~(-\infty, -3) \cup (1, +\infty) $$ Câu 3: Để tìm đạo hàm của hàm số $ y = 1 - \cos 2x $, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản. Bước 1: Xác định các thành phần của hàm số. - Hàm số $ y = 1 - \cos 2x $ bao gồm hai thành phần: hằng số 1 và hàm cosinus $ \cos 2x $. Bước 2: Áp dụng quy tắc đạo hàm tổng và đạo hàm của hằng số. - Đạo hàm của hằng số 1 là 0. - Đạo hàm của $ \cos 2x $ sẽ được tính bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Bước 3: Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp. - Đạo hàm của $ \cos u $ là $ -\sin u \cdot u' $, trong đó $ u = 2x $. - Đạo hàm của $ 2x $ là 2. Do đó: $$ \frac{d}{dx} (\cos 2x) = -\sin 2x \cdot 2 = -2\sin 2x $$ Bước 4: Kết hợp các kết quả lại. - Đạo hàm của $ y = 1 - \cos 2x $ là: $$ y' = 0 - (-2\sin 2x) = 2\sin 2x $$ Vậy đáp án đúng là: $$ D.~y^\prime=2\sin2x. $$ Câu 4: Để tìm đạo hàm của hàm số $ y = \tan x + \sqrt{3}x $, ta sẽ áp dụng công thức đạo hàm từng thành phần của tổng hai hàm số. 1. Tìm đạo hàm của $ \tan x $: $$ (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} $$ 2. Tìm đạo hàm của $ \sqrt{3}x $: $$ (\sqrt{3}x)' = \sqrt{3} $$ 3. Kết hợp lại theo công thức đạo hàm của tổng: $$ y' = (\tan x)' + (\sqrt{3}x)' = \frac{1}{\cos^2 x} + \sqrt{3} $$ Vậy đạo hàm của hàm số $ y = \tan x + \sqrt{3}x $ là: $$ y' = \frac{1}{\cos^2 x} + \sqrt{3} $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ B.~y^\prime=\frac{1}{\cos^2 x} + \sqrt{3}. $$ Câu 5: Để tìm đạo hàm của hàm số $ y = \cos^2(5x) $, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm lượng giác. Bước 1: Xác định hàm con và hàm ngoài. - Hàm con là $ u = \cos(5x) $. - Hàm ngoài là $ y = u^2 $. Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm con $ u = \cos(5x) $. - Đạo hàm của $ \cos(5x) $ là $ -\sin(5x) \times 5 = -5\sin(5x) $. Bước 3: Tìm đạo hàm của hàm ngoài $ y = u^2 $. - Đạo hàm của $ u^2 $ là $ 2u $. Bước 4: Kết hợp theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp. - $ y' = 2u \times (-5\sin(5x)) $ - Thay $ u = \cos(5x) $ vào: $$ y' = 2 \cos(5x) \times (-5\sin(5x)) $$ $$ y' = -10 \cos(5x) \sin(5x) $$ Bước 5: Áp dụng công thức nhân đôi góc $ \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) $: $$ y' = -10 \cos(5x) \sin(5x) = -5 \times 2 \cos(5x) \sin(5x) = -5 \sin(10x) $$ Vậy đạo hàm của hàm số $ y = \cos^2(5x) $ là $ y' = -5 \sin(10x) $. Đáp án đúng là: $ C.~y^\prime=-5\sin10x $. Câu 6: Để kiểm tra tính đúng đắn của các khẳng định, chúng ta sẽ áp dụng các công thức đạo hàm liên quan đến hàm mũ và hàm lôgarit. A. $(2^x)' = 2^x \ln 2$: - Công thức đạo hàm của hàm mũ $a^x$ là $(a^x)' = a^x \ln a$. Áp dụng vào đây với $a = 2$, ta có $(2^x)' = 2^x \ln 2$. Khẳng định này đúng. B. $(\ln x)' = \frac{1}{x}$: - Công thức đạo hàm của hàm lôgarit tự nhiên $\ln x$ là $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Khẳng định này đúng. C. $(\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$: - Công thức đạo hàm của hàm lôgarit cơ số $a$ là $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. Áp dụng vào đây với $a = 3$, ta có $(\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$. Khẳng định này đúng. D. $(e^{2x})' = e^{2x}$: - Công thức đạo hàm của hàm mũ $e^{f(x)}$ là $(e^{f(x)})' = f'(x) e^{f(x)}$. Ở đây, $f(x) = 2x$, vậy $f'(x) = 2$. Do đó, $(e^{2x})' = 2 e^{2x}$. Khẳng định này sai vì nó thiếu nhân tử 2. Vậy khẳng định sai là: D. $(e^{2x})' = e^{2x}$. Câu 7: Để tìm đạo hàm của hàm số $ y = 4^{x^2 + 3} $, ta sẽ áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ $ a^u $ với $ u $ là hàm số của $ x $. Công thức đạo hàm của hàm số $ y = a^u $ là: $$ y' = a^u \cdot \ln(a) \cdot u' $$ Trong đó: - $ a = 4 $ - $ u = x^2 + 3 $ Bước 1: Tính đạo hàm của $ u $: $$ u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 3) = 2x $$ Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ: $$ y' = 4^{x^2 + 3} \cdot \ln(4) \cdot 2x $$ Bước 3: Viết lại kết quả cuối cùng: $$ y' = 2x \cdot \ln(4) \cdot 4^{x^2 + 3} $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ C.~y' = 2x \cdot \ln(4) \cdot 4^{x^2 + 3} $$ Câu 8: Để tìm giá trị của $ f'(2) $, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số $ f(x) = \ln(e^{-x} + xe^{-x}) $. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $ f(x) $. Hàm số $ f(x) = \ln(g(x)) $ với $ g(x) = e^{-x} + xe^{-x} $. Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên: $$ f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}. $$ Bước 2: Tính đạo hàm của $ g(x) $. $$ g(x) = e^{-x} + xe^{-x}. $$ Áp dụng quy tắc đạo hàm tổng và tích: $$ g'(x) = \frac{d}{dx}(e^{-x}) + \frac{d}{dx}(xe^{-x}). $$ Tính đạo hàm từng thành phần: $$ \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}, $$ $$ \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x}. $$ Vậy: $$ g'(x) = -e^{-x} + e^{-x} - xe^{-x} = -xe^{-x}. $$ Bước 3: Thay vào công thức đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên: $$ f'(x) = \frac{-xe^{-x}}{e^{-x} + xe^{-x}}. $$ Bước 4: Thay $ x = 2 $ vào biểu thức đạo hàm: $$ f'(2) = \frac{-2e^{-2}}{e^{-2} + 2e^{-2}} = \frac{-2e^{-2}}{3e^{-2}} = \frac{-2}{3}. $$ Vậy giá trị của $ f'(2) $ là $ \frac{-2}{3} $. Đáp án đúng là: $ C.~\frac{-2}{3} $. Câu 9: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc của chất điểm: Vận tốc $ v(t) $ là đạo hàm của phương trình chuyển động $ S(t) $: $$ v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 - 9t + 5) = 3t^2 - 6t - 9 $$ 2. Xác định thời điểm vận tốc bị triệt tiêu: Vận tốc bị triệt tiêu khi $ v(t) = 0 $: $$ 3t^2 - 6t - 9 = 0 $$ Chia cả hai vế cho 3: $$ t^2 - 2t - 3 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai này: $$ t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} $$ Ta có hai nghiệm: $$ t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \quad \text{và} \quad t_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 $$ Vì thời gian $ t $ không thể âm, nên ta chọn $ t = 3 $. 3. Tìm gia tốc tại thời điểm $ t = 3 $: Gia tốc $ a(t) $ là đạo hàm của vận tốc $ v(t) $: $$ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t - 9) = 6t - 6 $$ Thay $ t = 3 $ vào phương trình gia tốc: $$ a(3) = 6 \cdot 3 - 6 = 18 - 6 = 12 \, \text{m/s}^2 $$ Vậy gia tốc tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là $ 12 \, \text{m/s}^2 $. Đáp án đúng là: $$ \boxed{A.~12 \, \text{m/s}^2} $$