Câu 2.
Phương trình của mặt phẳng (P) là .
Ta nhận thấy rằng, trong phương trình này, các hệ số của , , và lần lượt là 2, -1, và 3. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ có dạng .
Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là .
Vậy đáp án đúng là:
.
Câu 3.
Để tìm khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính tổng số ngày:
Tổng số ngày là 20 ngày.
2. Xác định khoảng tử phân vị:
Khoảng tử phân vị là khoảng giữa 25% và 75% của tổng số ngày.
3. Tính số ngày tương ứng với 25% và 75%:
- Số ngày tương ứng với 25%: ngày.
- Số ngày tương ứng với 75%: ngày.
4. Xác định khoảng tử phân vị:
- Khoảng từ 5 ngày đầu tiên đến 15 ngày tiếp theo.
5. Lập bảng phân bố tần số:
6. Tìm khoảng tử phân vị:
- Tính tổng tần số từ dưới lên:
- Từ [2,5; 3,0): 2 ngày.
- Từ [2,5; 3,5): 2 + 6 = 8 ngày.
- Từ [2,5; 4,0): 8 + 6 = 14 ngày.
- Từ [2,5; 4,5): 14 + 4 = 18 ngày.
- Từ [2,5; 5,0): 18 + 2 = 20 ngày.
- Khoảng tử phân vị nằm trong khoảng từ 5 ngày đến 15 ngày, tức là từ [3,5; 4,0).
7. Kết luận:
Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là [3,5; 4,0).
Do đó, đáp án đúng là:
C. 0,86.
Câu 4.
Để xác định hàm số sao cho là nguyên hàm của , ta cần tính đạo hàm của .
Bước 1: Tính đạo hàm của :
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ :
Do đó:
Bước 2: So sánh với các đáp án đã cho:
- Đáp án A:
- Đáp án B:
- Đáp án C:
- Đáp án D:
Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án A đúng với đạo hàm của .
Vậy, hàm số là:
Câu 5.
Trước tiên, ta xét các khẳng định một cách chi tiết:
- Khẳng định A:
Do SB vuông góc với đáy ABC, nên SB vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy ABC. Mặt khác, AB nằm trong mặt phẳng đáy ABC, do đó SB vuông góc với AB. Vì vậy, SB là đường cao chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SBC). Do đó, .
- Khẳng định B:
Vì ABC là tam giác vuông cân tại A, nên AM là đường trung tuyến hạ từ đỉnh vuông góc đến cạnh huyền BC. Trong tam giác vuông cân, đường trung tuyến hạ từ đỉnh vuông góc đến cạnh huyền cũng là đường cao, do đó .
- Khẳng định C:
Tương tự như trên, vì SB vuông góc với đáy ABC, nên SB vuông góc với AC (vì AC nằm trong mặt phẳng đáy ABC). Do đó, SB là đường cao chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SAC). Vì vậy, .
- Khẳng định D:
Ta cần kiểm tra xem có điều gì sai ở khẳng định này. Ta đã biết , nhưng để thì cần có thêm điều kiện SB vuông góc với AM. Tuy nhiên, SB vuông góc với đáy ABC, nhưng không có thông tin nào cho thấy SB vuông góc với AM. Do đó, không thể khẳng định .
Vậy khẳng định sai là:
Câu 6.
Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số , ta thực hiện phép chia đa thức như sau:
1. Chia tử số cho mẫu số :
Kết quả của phép chia là:
2. Khi tiến đến vô cùng (), phần sẽ tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của hàm số là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 7.
Để tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng sao cho ba điểm thẳng hàng, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện thẳng hàng:
Ba điểm thẳng hàng nếu và chỉ nếu vectơ và vectơ cùng phương.
2. Tìm vectơ :
3. Giả sử tọa độ điểm là vì thuộc mặt phẳng :
4. Điều kiện để và cùng phương:
Ta có:
5. Tọa độ điểm :
Vậy tọa độ điểm là .
Đáp án đúng là: .
Câu 8.
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số
Bước 2: Xét dấu đạo hàm
với mọi . Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng và .
Bước 3: Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn
Bước 4: So sánh các giá trị
Ta thấy rằng:
-
-
Trong hai giá trị này, giá trị lớn nhất là .
Kết luận:
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là , đạt được khi .
Đáp án đúng là B. .
Câu 9.
Để tìm số hạng của cấp số cộng, ta cần biết công thức tổng quát của số hạng thứ trong cấp số cộng. Công thức này là:
Trong đó:
- là số hạng đầu tiên,
- là công sai,
- là số thứ tự của số hạng.
Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên và công sai .
Ta đã biết:
Công sai được tính bằng cách lấy số hạng thứ hai trừ đi số hạng đầu tiên:
Bước 2: Áp dụng công thức để tìm số hạng .
Giả sử chúng ta cần tìm số hạng thứ . Ta sẽ thay vào công thức:
Bước 3: Kiểm tra đáp án.
Dựa vào các lựa chọn đã cho:
A. 11
B. 15
C. 14
D. 17
Chúng ta thử lần lượt từng đáp án để xem liệu nó có thỏa mãn công thức hay không.
- Nếu :
(Thỏa mãn)
- Nếu :
(Không thỏa mãn vì phải là số nguyên)
- Nếu :
(Thỏa mãn)
- Nếu :
(Thỏa mãn)
Như vậy, các số hạng có thể là 11, 14 hoặc 17. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, chúng ta thấy rằng số hạng có thể là 11, 14 hoặc 17.
Đáp án đúng là: A. 11, C. 14, D. 17.