Giả sử, bạn có một cây kim đặt trên một mặt phẳng. Bây giờ, bạn cần tìm ra một cách để xoay cây kim đó sao cho đầu của nó chỉ theo đủ mọi hướng, đồng thời, diện tích nó quét trên mặt phẳng là nhỏ nhất

Question

Accepted Answer

{"userId":5375394,"userName":"..."}

Gọi cây kim có độ dài là $l$.

Để đầu kim chỉ theo đủ mọi hướng, cây kim phải quay ít nhất một góc $2\pi$.

Gọi $O$ là điểm cố định của cây kim.

Gọi $A$ là đầu kim. Khi kim quay một góc $2\pi$, đầu kim $A$ sẽ vạch ra một hình tròn tâm $O$ bán kính $l$. Diện tích hình tròn này là $\pi l^2$.

Tuy nhiên, ta có thể giảm diện tích quét của kim xuống còn một nửa. Cách làm như sau:

- Xoay kim một góc $\pi$ quanh điểm $O$. Đầu kim $A$ vạch ra nửa đường tròn.

- Dịch chuyển kim theo phương của nó một đoạn $2l$ sao cho điểm $O$ đến vị trí $O'$.

- Xoay kim một góc $\pi$ quanh điểm $O'$. Đầu kim $A$ vạch ra nửa đường tròn.

Diện tích quét của kim khi đó là $\pi(\frac{l}{2})^2 = \frac{1}{4}\pi l^2$.

Diện tích quét của kim là diện tích của hình tròn bán kính $\frac{l}{2}$ cộng với diện tích của hình chữ nhật có chiều dài $2l$ và chiều rộng $l$.

Diện tích này là:

$S = \frac{\pi l^2}{4} + 2l^2$.

Tuy nhiên, ta có thể giảm diện tích quét xuống còn nhỏ hơn nữa bằng cách xoay kim quanh trung điểm của nó. Khi đó, đầu kim $A$ vạch ra một hình tròn bán kính $\frac{l}{2}$, và diện tích quét là $\pi(\frac{l}{2})^2 = \frac{\pi l^2}{4}$.

Vậy, diện tích quét nhỏ nhất của cây kim là $\frac{\pi l^2}{4}$, đạt được khi xoay kim quanh trung điểm của nó.