giải chi tiết Trang 3/3 - Mã đề thi 111,$a)~y^\prime(0)=-2$,$b)~y^\prime(1),$a)~CD\bot(SBC).$,$b)~BD\bot(SAC).$,c) Thê tì ch khô i chó p đã cho bă ng 4 .,d) Gó c giữ a đườ ng thả ng sc và mặ t phả ng (ABc )) có sin b nng,$\frac{3\sqrt{17}}{17}.$,Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.,Câu 1 : Tìm nghiệm của phương trình: $\frac{3^*}3=9.27^*.$,Câu 2 : Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng có củng kích thước và,khối lượng.. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Ti nh xá c suất để chọn được hai viên bi cùng,màu.(kết quả là m trò n đến hàng phần trăm). song song với đường,Câu 3 : Tiê p tuyê n củ a đô thi hàm số $f(x)=x^3-3x^2+4x$,thẳng $y=x+5$ có phương tri nh $y=ax+b.Ti~nh~2024a-b.$,Câu 4 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 1 .SAAvvunngggó,với ( ABBDDD và góc giữa BBB v đđáy ằằng $60^0.$ Tính khoảng cách giữa hai đường AE,và sc , với E là trung điểm của cạnh BC .(kết quả là m trò n đên hàng phần trăm).,B. PHẦN TỰ LUẬN: 2,0 điểm,Câu 1.,a) Tính đạo hàm của hàm số $y=2x^3-3\cos2x.$,b) Cho hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$ có đồ thị (C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ),tại điểm $A(1;2).$,Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên sA vuông góc với mặt,phẳng đáy, cạnh bên sc tạo với mặt phẳng đáy góc $30^0.$ Tính thể tích khối chóp,$S.ABCD.$,Trang 4/4 - Mã đề thi 111,----- HẾT -----

Question

giải chi tiết Trang 3/3 - Mã đề thi 111,$a)~y^\prime(0)=-2$,$b)~y^\prime(1)<y^\prime(2).$,c) Tiếp tuyến của đồ thị (c) tại điểm có hoành độ bằng $\frac12$ có hệ số góc $k=\frac56.$,d) Tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $A(-1;3)$ đi qua điểm $E(-2;2).$,Câu 2. Cho hình chóp S.ABCDD ó đáy là hình vuông cạ nh bă ng 22  cạnh bên $SA=3$ vuông,góc với đáy . Các mệnh đề sau đúng hay sai?,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/1787f38893b64a69a2300f992a3abb44.jpg />,$a)~CD\bot(SBC).$,$b)~BD\bot(SAC).$,c) Thê tì ch khô i chó p đã cho bă ng 4 .,d) Gó c giữ a đườ ng thả ng sc và mặ t phả ng (ABc )) có sin b nng,$\frac{3\sqrt{17}}{17}.$,Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.,Câu 1 : Tìm nghiệm của phương trình: $\frac{3^*}3=9.27^*.$,Câu 2 : Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng có củng kích thước và,khối lượng.. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Ti nh xá c suất để chọn được hai viên bi cùng,màu.(kết quả là m trò n đến hàng phần trăm). song song với đường,Câu 3 : Tiê p tuyê n củ a đô thi hàm số $f(x)=x^3-3x^2+4x$,thẳng $y=x+5$ có phương tri nh $y=ax+b.Ti~nh~2024a-b.$,Câu 4 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 1 .SAAvvunngggó,với ( ABBDDD  và góc giữa   BBB   v đđáy ằằng $60^0.$ Tính khoảng cách giữa hai đường AE,và sc , với E là trung điểm của cạnh BC .(kết quả là m trò n đên hàng phần trăm).,B. PHẦN TỰ LUẬN: 2,0 điểm,Câu 1.,a) Tính đạo hàm của hàm số $y=2x^3-3\cos2x.$,b) Cho hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$ có đồ thị (C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ),tại điểm $A(1;2).$,Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên sA vuông góc với mặt,phẳng đáy, cạnh bên sc tạo với mặt phẳng đáy góc $30^0.$ Tính thể tích khối chóp,$S.ABCD.$,Trang 4/4 - Mã đề thi 111,----- HẾT -----

Accepted Answer

ĐÚNG/SAI:

Câu 1.

Cho hàm số $y = \frac{x-2}{2x+1}$ có đồ thị $(C)$.

Ta có đạo hàm: $y' = \frac{(1)(1) - (-2)(2)}{(2x+1)^2} = \frac{1+4}{(2x+1)^2} = \frac{5}{(2x+1)^2}$.

a) $y'(0) = \frac{5}{(2(0)+1)^2} = \frac{5}{1^2} = 5$.

Mệnh đề $y'(0)=-2$ là Sai.

b) $y'(1) = \frac{5}{(2(1)+1)^2} = \frac{5}{3^2} = \frac{5}{9}$.

$y'(2) = \frac{5}{(2(2)+1)^2} = \frac{5}{5^2} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.

Vì $\frac{5}{9} = \frac{25}{45}$ và $\frac{1}{5} = \frac{9}{45}$, nên $\frac{5}{9} > \frac{1}{5}$. Do đó $y'(1) > y'(2)$.

Mệnh đề $y'(1) < y'(2)$ là Sai.

c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = \frac{1}{2}$ là $k = y'(\frac{1}{2})$.

$k = y'(\frac{1}{2}) = \frac{5}{(2(\frac{1}{2})+1)^2} = \frac{5}{(1+1)^2} = \frac{5}{2^2} = \frac{5}{4}$.

Mệnh đề này là Đúng.

d) Kiểm tra điểm $A(-1;3)$ có thuộc đồ thị $(C)$ không:

$y(-1) = \frac{-1-2}{2(-1)+1} = \frac{-3}{-2+1} = \frac{-3}{-1} = 3$. Vậy điểm $A(-1;3)$ thuộc $(C)$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$ là $k = y'(-1) = \frac{5}{(2(-1)+1)^2} = \frac{5}{(-1)^2} = 5$.

Phương trình tiếp tuyến tại $A(-1;3)$ là:

$y - 3 = 5(x - (-1))$

$y - 3 = 5(x+1)$

$y = 5x + 5 + 3$

$y = 5x + 8$.

Kiểm tra điểm $E(-2;2)$ có thuộc tiếp tuyến không:

Thay $x=-2$ vào phương trình tiếp tuyến: $y = 5(-2) + 8 = -10 + 8 = -2$.

Vì $2 eq -2$, nên điểm $E(-2;2)$ không thuộc tiếp tuyến.

Mệnh đề này là Sai.

Câu 2.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a=2$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA=3$.

a) Ta có $CD \perp AD$ (do $ABCD$ là hình vuông).

Ta có $CD \perp SA$ (do $SA \perp (ABCD)$ và $CD \subset (ABCD)$).

Vì $AD$ và $SA$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(SAD)$, nên $CD \perp (SAD)$.

Do đó $CD \perp SD$.

Để $CD \perp (SBC)$, $CD$ phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong $(SBC)$. Ta đã biết $CD$ không song song với $BC$. $CD$ không vuông góc với $BC$ (chúng song song).

Ta có $BC \perp AB$ và $BC \perp SA \implies BC \perp (SAB) \implies BC \perp SB$.

Xét $CD \perp (SBC)$: Ta có $CD \parallel AB$. Nếu $CD \perp (SBC)$ thì $AB \perp (SBC)$. Điều này đòi hỏi $AB \perp SB$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $SA=3, AB=2$. $SB = \sqrt{SA^2+AB^2} = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13}$. Tam giác $SAB$ không vuông tại $B$. Vậy $AB$ không vuông góc $SB$.

Do đó $CD$ không vuông góc với $(SBC)$.

Mệnh đề a) là Sai.

b) Ta có $BD \perp AC$ (tính chất hai đường chéo hình vuông).

Ta có $BD \perp SA$ (do $SA \perp (ABCD)$ và $BD \subset (ABCD)$).

Vì $AC$ và $SA$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, nên $BD \perp (SAC)$.

Mệnh đề b) là Đúng.

c) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

$V = \frac{1}{3} imes ext{Diện tích đáy} imes ext{Chiều cao}$

$V = \frac{1}{3} imes S_{ABCD} imes SA$

Diện tích đáy $S_{ABCD} = ( ext{cạnh})^2 = 2^2 = 4$.

Chiều cao $h = SA = 3$.

$V = \frac{1}{3} imes 4 imes 3 = 4$.

Mệnh đề c) là Đúng.

d) Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu của nó trên $(ABCD)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$, nên hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$. Hình chiếu của $C$ lên $(ABCD)$ là $C$.

Vậy hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$.

Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là góc $\angle SCA$.

Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$ (do $SA \perp AC$ vì $SA \perp (ABCD)$).

Độ dài đường chéo $AC$ của hình vuông $ABCD$ cạnh 2 là: $AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Trong tam giác vuông $SAC$:

$SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 8} = \sqrt{17}$.

$\sin(\angle SCA) = \frac{ ext{đối}}{ ext{huyền}} = \frac{SA}{SC} = \frac{3}{\sqrt{17}} = \frac{3\sqrt{17}}{17}$.

Mệnh đề d) là Đúng.

TRẢ LỜI NGẮN:

Câu 1:

Ta có phương trình:

$\frac{3^x}{3} = 9 \cdot 27^x$

$\Leftrightarrow 3^{x-1} = 3^2 \cdot (3^3)^x$

$\Leftrightarrow 3^{x-1} = 3^2 \cdot 3^{3x}$

$\Leftrightarrow 3^{x-1} = 3^{2+3x}$

$\Leftrightarrow x-1 = 2+3x$

$\Leftrightarrow 2x = -3$

$\Leftrightarrow x = -\frac{3}{2}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = -\frac{3}{2}$.

**Câu 2Tổng số viên bi trong hộp là: $4 + 3 + 2 = 9$ (viên bi).

Số cách chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ 9 viên bi là: $C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 imes 8}{2} = 36$ (cách).

Số cách chọn được 2 viên bi màu xanh là: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 imes 3}{2} = 6$ (cách).

Số cách chọn được 2 viên bi màu đỏ là: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 imes 2}{2} = 3$ (cách).

Số cách chọn được 2 viên bi màu vàng là: $C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = 1$ (cách).

Số cách chọn được 2 viên bi cùng màu là: $6 + 3 + 1 = 10$ (cách).

Xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu là: $P = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: $P = \frac{5}{18} \approx 0.2777... \approx 0.28$.

Câu 3:

Ta có $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$.

Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x)$ song song với đường thẳng $y = x + 5$, nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k = 1$.

Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm. Ta có $f'(x_0) = 1$.

$\Leftrightarrow 3x_0^2 - 6x_0 + 4 = 1$

$\Leftrightarrow 3x_0^2 - 6x_0 + 3 = 0$

$\Leftrightarrow 3(x_0^2 - 2x_0 + 1) = 0$

$\Leftrightarrow 3(x_0 - 1)^2 = 0$

$\Leftrightarrow x_0 = 1$.

Tung độ tiếp điểm là $y_0 = f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 4(1) = 1 - 3 + 4 = 2$.

Phương trình tiếp tuyến là $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.

$y - 2 = 1(x - 1)$

$y = x - 1 + 2$

$y = x + 1$.

Theo đề bài, phương trình tiếp tuyến là $y = ax + b$.

Do đó, $a = 1$ và $b = 1$.

Giá trị cần tìm là $2024a - b = 2024(1) - 1 = 2024 - 1 = 2023$.

Câu 4:

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A \equiv O(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $D(0, 1, 0)$, $C(1, 1, 0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $S(0, 0, z_S)$ với $z_S > 0$.

Góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ là góc $\angle SBA$.

Ta có $AB \perp BC$ và $SA \perp BC$ (do $SA \perp (ABCD)$), suy ra $BC \perp (SAB)$.

Do đó, góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$ là góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AB$, tức là $\angle SBA = 60^\circ$.

Trong tam giác vuông $SAB$ tại $A$: $SA = AB \cdot an(\angle SBA) = 1 \cdot an(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Vậy $S(0, 0, \sqrt{3})$.

$E$ là trung điểm của $BC$, nên $E = (\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}, \frac{z_B+z_C}{2}) = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 0)$.

Ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $AE$ và $SC$.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AE$ là $\vec{u} = \vec{AE} = (1, \frac{1}{2}, 0)$.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $SC$ là $\vec{v} = \vec{SC} = (1-0, 1-0, 0-\sqrt{3}) = (1, 1, -\sqrt{3})$.

Vectơ nối một điểm trên $AE$ (điểm A) và một điểm trên $SC$ (điểm S) là $\vec{AS} = (0, 0, \sqrt{3})$.

Tích có hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$:

$[\vec{u}, \vec{v}] = ( \frac{1}{2}(-\sqrt{3}) - 0(1), 0(1) - 1(-\sqrt{3}), 1(1) - \frac{1}{2}(1) ) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}, \frac{1}{2})$.

Độ lớn của tích có hướng:

$|[\vec{u}, \vec{v}]| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + 3 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4} + 3} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Tích hỗn tạp:

$[\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{AS} = (-\frac{\sqrt{3}}{2})(0) + (\sqrt{3})(0) + (\frac{1}{2})(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Khoảng cách giữa $AE$ và $SC$ là:

$d(AE, SC) = \frac{|[\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{AS}|}{|[\vec{u}, \vec{v}]|} = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: $d(AE, SC) = \frac{\sqrt{3}}{4} \approx \frac{1.732}{4} \approx 0.433 \approx 0.43$.

TỰ LUẬN:

B. PHẦN TỰ LUẬN: 2,0 điểm

Câu 1.

a) Ta có $y' = (2x^3 - 3\cos(2x))'$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng/hiệu, đạo hàm của hàm lũy thừa và đạo hàm của hàm hợp:

$y' = (2x^3)' - (3\cos(2x))'$

$y' = 2 \cdot 3x^{3-1} - 3 \cdot (-\sin(2x)) \cdot (2x)'$

$y' = 6x^2 - 3 \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2$

$y' = 6x^2 + 6\sin(2x)$

Vậy đạo hàm của hàm số là $y' = 6x^2 + 6\sin(2x)$.

b) Cho hàm số $y = \frac{x+3}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $A(1; 2)$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

Ta có đạo hàm: $y' = \frac{(x+3)'(x+1) - (x+3)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1(x+1) - (x+3) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x-3}{(x+1)^2} = \frac{-2}{(x+1)^2}$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $A(1; 2)$ là $k = y'(1)$.

$k = y'(1) = \frac{-2}{(1+1)^2} = \frac{-2}{2^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $A(x_0; y_0)$ có dạng: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Với $A(1; 2)$ và $k = -\frac{1}{2}$, phương trình tiếp tuyến là:

$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + 2$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.

Câu 2.

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên $SC$ tạo với mặt phẳng đáy góc $30^\circ$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA$ là đường cao của hình chóp $S.ABCD$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $A$.

Hình chiếu vuông góc của $C$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là chính nó.

Do đó, hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SC$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là đường thẳng $AC$.

Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa $SC$ và $AC$, chính là góc $\angle SCA$.

Theo giả thiết, $\angle SCA = 30^\circ$.

Xét hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Đường chéo $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Xét tam giác $ riangle SAC$ vuông tại $A$ (do $SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp AC$).

Ta có: $ an(\angle SCA) = \frac{SA}{AC}$.

$ an(30^\circ) = \frac{SA}{a\sqrt{2}}$

$SA = AC \cdot an(30^\circ) = a\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Diện tích đáy $ABCD$ là $S_{ABCD} = a^2$.

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3\sqrt{6}}{9}$.

Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V = \frac{a^3\sqrt{6}}{9}$.