Giúp mình vs Câu 2. Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức $s(t)=t^3-t^2+5t+2,$ trong đó t,là thời gian tính bằng giây và s là quãng đường chuyển động của vật tính bằng mét. Các mệnh đề sau đúng,hay sai?,a) Vận tốc của vật tại thời điểm $t=2$ là $9(m/s).$,b) Gia tốc của vật tại thời điểm $t=3$ là $16(m/s^2).$,c) Quãng đường chuyển động của vật tại thời điểm mà vận tốc của vật bằng 45 (m/s) là 70 (m).,d) Vận tốc của vật tại thời điểm mà gia tốc của vật bằng $34(m/s^2)$ là $101(m/s).$

Question

Accepted Answer

Câu 2.
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta cần sử dụng các kiến thức về đạo hàm để tìm vận tốc và gia tốc của vật.

- Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $ t $ là đạo hàm của hàm số $ s(t) $:
$$ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - t^2 + 5t + 2) = 3t^2 - 2t + 5 $$

- Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm $ t $ là đạo hàm của hàm số $ v(t) $:
$$ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 2t + 5) = 6t - 2 $$

Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề:

a) Vận tốc của vật tại thời điểm $ t = 2 $ là:
$$ v(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 5 = 3 \cdot 4 - 4 + 5 = 12 - 4 + 5 = 13 \, (m/s) $$
Mệnh đề này sai vì vận tốc tại $ t = 2 $ là 13 m/s, không phải 9 m/s.

b) Gia tốc của vật tại thời điểm $ t = 3 $ là:
$$ a(3) = 6(3) - 2 = 18 - 2 = 16 \, (m/s^2) $$
Mệnh đề này đúng vì gia tốc tại $ t = 3 $ là 16 m/s².

c) Để tìm thời điểm mà vận tốc của vật bằng 45 m/s, ta giải phương trình:
$$ 3t^2 - 2t + 5 = 45 $$
$$ 3t^2 - 2t - 40 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai này:
$$ t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 480}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{484}}{6} = \frac{2 \pm 22}{6} $$

Có hai nghiệm:
$$ t_1 = \frac{2 + 22}{6} = 4 $$
$$ t_2 = \frac{2 - 22}{6} = -\frac{20}{6} = -\frac{10}{3} $$ (loại vì thời gian không thể âm)

Thời điểm $ t = 4 $ là hợp lý. Bây giờ, ta tính quãng đường chuyển động của vật tại thời điểm này:
$$ s(4) = 4^3 - 4^2 + 5 \cdot 4 + 2 = 64 - 16 + 20 + 2 = 70 \, (m) $$
Mệnh đề này đúng vì quãng đường chuyển động của vật tại thời điểm mà vận tốc của vật bằng 45 m/s là 70 m.

d) Để tìm thời điểm mà gia tốc của vật bằng 34 m/s², ta giải phương trình:
$$ 6t - 2 = 34 $$
$$ 6t = 36 $$
$$ t = 6 $$

Bây giờ, ta tính vận tốc của vật tại thời điểm này:
$$ v(6) = 3(6)^2 - 2(6) + 5 = 3 \cdot 36 - 12 + 5 = 108 - 12 + 5 = 101 \, (m/s) $$
Mệnh đề này đúng vì vận tốc của vật tại thời điểm mà gia tốc của vật bằng 34 m/s² là 101 m/s.

Tóm lại:
- Mệnh đề a) sai.
- Mệnh đề b) đúng.
- Mệnh đề c) đúng.
- Mệnh đề d) đúng.