Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = –x2 + 4x, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ x0 = 1;

b) Tiếp điểm có tung độ y0 = 0.

Question

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = –x2 + 4x, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ x0 = 1;

b) Tiếp điểm có tung độ y0 = 0.

Timi · Accepted Answer

Để viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y = -x^2 + 4x$, ta cần tìm đạo hàm của hàm số này để xác định hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm đã cho.

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $y = -x^2 + 4x$.

$$ y&#x27; = (-x^2 + 4x)&#x27; = -2x + 4 $$

Bước 2: Xác định hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm đã cho.

a) Tiếp điểm có hoành độ $x_0 = 1$:

- Tính giá trị của hàm số tại $x_0 = 1$:

$$ y(1) = -(1)^2 + 4(1) = -1 + 4 = 3 $$

- Tính đạo hàm tại $x_0 = 1$:

$$ y&#x27;(1) = -2(1) + 4 = -2 + 4 = 2 $$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1, 3)$ với hệ số góc $k = 2$ là:

$$ y - y_0 = k(x - x_0) $$
$$ y - 3 = 2(x - 1) $$
$$ y - 3 = 2x - 2 $$
$$ y = 2x + 1 $$

b) Tiếp điểm có tung độ $y_0 = 0$:

- Giải phương trình $y = 0$ để tìm hoành độ $x_0$:

$$ -x^2 + 4x = 0 $$
$$ x(-x + 4) = 0 $$
$$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 $$

- Tính đạo hàm tại hai điểm $x_0 = 0$ và $x_0 = 4$:

$$ y&#x27;(0) = -2(0) + 4 = 4 $$
$$ y&#x27;(4) = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4 $$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0, 0)$ với hệ số góc $k = 4$ là:

$$ y - 0 = 4(x - 0) $$
$$ y = 4x $$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(4, 0)$ với hệ số góc $k = -4$ là:

$$ y - 0 = -4(x - 4) $$
$$ y = -4x + 16 $$

Kết luận:
a) Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ là $y = 2x + 1$.

b) Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ $y_0 = 0$ là $y = 4x$ hoặc $y = -4x + 16$.