Giúp mình với Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{1+x-x^2}{1-x+x^2}?$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{1+x-x^2}{1-x+x^2}$, ta áp dụng công thức tính đạo hàm của thương hai hàm số.

Bước 1: Xác định các thành phần của hàm số:
- Gọi $u = 1 + x - x^2$
- Gọi $v = 1 - x + x^2$

Bước 2: Tính đạo hàm của $u$ và $v$:
- Đạo hàm của $u$: $u' = (1 + x - x^2)' = 1 - 2x$
- Đạo hàm của $v$: $v' = (1 - x + x^2)' = -1 + 2x$

Bước 3: Áp dụng công thức tính đạo hàm của thương hai hàm số:
$$ y' = \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$

Bước 4: Thay các giá trị đã tính vào công thức:
$$ y' = \frac{(1 - 2x)(1 - x + x^2) - (1 + x - x^2)(-1 + 2x)}{(1 - x + x^2)^2} $$

Bước 5: Thực hiện phép nhân và trừ:
$$ y' = \frac{(1 - 2x)(1 - x + x^2) - (1 + x - x^2)(-1 + 2x)}{(1 - x + x^2)^2} $$
$$ = \frac{(1 - 2x)(1 - x + x^2) + (1 + x - x^2)(1 - 2x)}{(1 - x + x^2)^2} $$
$$ = \frac{(1 - 2x)(1 - x + x^2 + 1 + x - x^2)}{(1 - x + x^2)^2} $$
$$ = \frac{(1 - 2x)(2)}{(1 - x + x^2)^2} $$
$$ = \frac{2(1 - 2x)}{(1 - x + x^2)^2} $$

Vậy đạo hàm của hàm số $y=\frac{1+x-x^2}{1-x+x^2}$ là:
$$ y' = \frac{2(1 - 2x)}{(1 - x + x^2)^2} $$