Xin cách giải Câu 1. Cho lăng trụ đứng ABC.AA'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng $2\sqrt3,$ cạnh bên $AA^\prime=3.$ Gọi,M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, B'C'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và,CN.,Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M(2,1,1)$ và đường $d:\frac{x-3}1=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{-2}.$,Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M, song song với mặt phẳng $(Q):~x-2y+z-3=0$ và tạo với,d góc nhỏ nhất. Gọi $A(-8;a;b)$ là một điểm nằm trên đường thẳng $\Delta.$ Tính giá trị $a+b.$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CN trong lăng trụ đứng ABC.A'B'C', ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ các đỉnh của lăng trụ:
   - Vì đáy là tam giác đều cạnh $2\sqrt{3}$, ta chọn hệ tọa độ sao cho:
     - A(0, 0, 0)
     - B($2\sqrt{3}$, 0, 0)
     - C($\sqrt{3}$, 3, 0)
   - Vì lăng trụ đứng và cạnh bên AA' = 3, ta có:
     - A'(0, 0, 3)
     - B'($2\sqrt{3}$, 0, 3)
     - C'($\sqrt{3}$, 3, 3)

2. Tìm tọa độ của các điểm M và N:
   - M là trung điểm của BC, nên:
     $$
     M = \left(\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}, \frac{0 + 3}{2}, 0\right) = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, 0\right)
     $$
   - N là trung điểm của B'C', nên:
     $$
     N = \left(\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}, \frac{0 + 3}{2}, 3\right) = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, 3\right)
     $$

3. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng AM và CN:
   - Vectơ $\overrightarrow{AM}$:
     $$
     \overrightarrow{AM} = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, 0\right) - (0, 0, 0) = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, 0\right)
     $$
   - Vectơ $\overrightarrow{CN}$:
     $$
     \overrightarrow{CN} = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, 3\right) - (\sqrt{3}, 3, 0) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 3\right)
     $$

4. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa AM và CN:
   - Ta tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng chứa AM và CN bằng cách lấy tích vector của $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CN}$:
     $$
     \vec{n} = \overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{CN}
     $$
     $$
     \vec{n} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     \frac{3\sqrt{3}}{2} & \frac{3}{2} & 0 \
     \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{3}{2} & 3
     \end{vmatrix}
     $$
     $$
     \vec{n} = \mathbf{i} \left(\frac{3}{2} \cdot 3 - 0 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)\right) - \mathbf{j} \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 3 - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \mathbf{k} \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
     $$
     $$
     \vec{n} = \mathbf{i} \left(\frac{9}{2}\right) - \mathbf{j} \left(\frac{9\sqrt{3}}{2}\right) + \mathbf{k} \left(-\frac{9\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4}\right)
     $$
     $$
     \vec{n} = \left(\frac{9}{2}, -\frac{9\sqrt{3}}{2}, -3\sqrt{3}\right)
     $$

5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CN:
   - Chọn điểm A(0, 0, 0) trên đường thẳng AM và điểm C($\sqrt{3}$, 3, 0) trên đường thẳng CN.
   - Vectơ $\overrightarrow{AC}$:
     $$
     \overrightarrow{AC} = (\sqrt{3}, 3, 0) - (0, 0, 0) = (\sqrt{3}, 3, 0)
     $$
   - Khoảng cách d giữa hai đường thẳng:
     $$
     d = \frac{|\overrightarrow{AC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}
     $$
     $$
     \overrightarrow{AC} \cdot \vec{n} = (\sqrt{3}, 3, 0) \cdot \left(\frac{9}{2}, -\frac{9\sqrt{3}}{2}, -3\sqrt{3}\right) = \sqrt{3} \cdot \frac{9}{2} + 3 \cdot \left(-\frac{9\sqrt{3}}{2}\right) + 0 \cdot (-3\sqrt{3}) = \frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{27\sqrt{3}}{2} = -9\sqrt{3}
     $$
     $$
     |\vec{n}| = \sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^2 + \left(-\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{243}{4} + 27} = \sqrt{\frac{81 + 243 + 108}{4}} = \sqrt{\frac{432}{4}} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}
     $$
     $$
     d = \frac{|-9\sqrt{3}|}{6\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{3}{2}
     $$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CN là $\frac{3}{2}$.

Câu 2.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$:
   Đường thẳng $d$ có phương trình tham số là:
   $$
   \frac{x-3}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+1}{-2}
   $$
   Do đó, vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u_d} = (1, -1, -2)$.

2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$:
   Mặt phẳng $(Q)$ có phương trình $x - 2y + z - 3 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n_Q} = (1, -2, 1)$.

3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:
   Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2, 1, 1)$ và song song với mặt phẳng $(Q)$. Do đó, vectơ chỉ phương của $\Delta$ phải vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$. Gọi vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u_\Delta} = (a, b, c)$. Ta có:
   $$
   \vec{u_\Delta} \cdot \vec{n_Q} = 0 \implies a - 2b + c = 0
   $$

4. Tìm góc giữa hai đường thẳng:
   Để đường thẳng $\Delta$ tạo với đường thẳng $d$ góc nhỏ nhất, vectơ chỉ phương của $\Delta$ phải vuông góc với vectơ chỉ phương của $d$. Ta có:
   $$
   \vec{u_\Delta} \cdot \vec{u_d} = 0 \implies a - b - 2c = 0
   $$

5. Giải hệ phương trình:
   Ta có hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   a - 2b + c = 0 \
   a - b - 2c = 0
   \end{cases}
   $$
   Giải hệ phương trình này, ta được:
   $$
   a = 5t, \quad b = 3t, \quad c = t
   $$
   Chọn $t = 1$, ta có $\vec{u_\Delta} = (5, 3, 1)$.

6. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$:
   Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2, 1, 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_\Delta} = (5, 3, 1)$. Phương trình tham số của $\Delta$ là:
   $$
   \begin{cases}
   x = 2 + 5t \
   y = 1 + 3t \
   z = 1 + t
   \end{cases}
   $$

7. Tìm tọa độ điểm $A(-8, a, b)$:
   Thay $x = -8$ vào phương trình tham số của $\Delta$:
   $$
   -8 = 2 + 5t \implies t = -2
   $$
   Thay $t = -2$ vào phương trình tham số của $y$ và $z$:
   $$
   y = 1 + 3(-2) = -5 \
   z = 1 + (-2) = -1
   $$
   Vậy điểm $A$ có tọa độ $(-8, -5, -1)$.

8. Tính giá trị $a + b$:
   Ta có $a = -5$ và $b = -1$. Do đó:
   $$
   a + b = -5 + (-1) = -6
   $$

Đáp số: $a + b = -6$.