Câu 1.
Để rút gọn biểu thức với , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định:
- Biểu thức có nghĩa khi .
- Điều kiện đã cho là , nên điều kiện này đã thoả mãn.
2. Rút gọn biểu thức:
- Ta viết lại biểu thức dưới dạng có cùng cơ số:
- Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số:
3. Kiểm tra đáp án:
- Các đáp án được đưa ra là:
- A.
- B.
- C.
- D.
- So sánh với kết quả rút gọn , ta thấy rằng không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn trên.
Tuy nhiên, nếu chúng ta xét lại các đáp án, có thể thấy rằng biểu thức không thể rút gọn thành bất kỳ một trong các đáp án đã cho. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn hoặc sai sót trong việc đưa ra các đáp án.
Kết luận: Biểu thức không thể rút gọn thành một trong các đáp án đã cho. Đáp án đúng là .
Câu 2.
Để tìm tập xác định của hàm số , ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương, tức là:
Bước 1: Giải bất phương trình .
Ta viết lại bất phương trình dưới dạng:
Bước 2: Tìm các điểm làm thay đổi dấu của bất phương trình.
Phương trình có hai nghiệm là và .
Bước 3: Xác định các khoảng để kiểm tra dấu của bất phương trình.
- Khi , cả và đều âm hoặc dương, do đó sẽ âm.
- Khi , dương và dương, do đó dương.
- Khi , dương và âm, do đó âm.
Từ đó, ta thấy rằng khi .
Vậy tập xác định của hàm số là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 3.
Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta thấy rằng:
- Đường thẳng BA nằm trong mặt phẳng ABCD.
- Đường thẳng CD cũng nằm trong mặt phẳng ABCD.
Do đó, góc giữa hai đường thẳng BA và CD chính là góc giữa hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng ABCD.
Ta nhận thấy rằng:
- Đường thẳng BA vuông góc với đường thẳng AD (vì ABCD là hình vuông).
- Đường thẳng CD vuông góc với đường thẳng AD (vì ABCD là hình vuông).
Từ đó, ta suy ra rằng đường thẳng BA vuông góc với đường thẳng CD.
Vậy góc giữa hai đường thẳng BA và CD là .
Đáp án đúng là: .
Câu 4.
Để tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc giữa đường thẳng SC và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (ABC).
2. Tìm hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (ABC):
Vì , nên hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (ABC) là điểm A.
3. Xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC):
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc giữa đường thẳng SC và đường thẳng AC (vì AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC)).
4. Tính góc giữa đường thẳng SC và đường thẳng AC:
- Ta biết rằng tam giác ABC đều, do đó .
- Vì , tam giác SAC là tam giác vuông tại A.
- Trong tam giác SAC, góc SAC là góc vuông, do đó góc giữa SC và AC là góc giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông.
5. Áp dụng tính chất của tam giác đều và tam giác vuông:
- Trong tam giác đều ABC, ta có .
- Trong tam giác vuông SAC, ta có:
- Vì tam giác SAC là tam giác vuông tại A và tam giác ABC đều, ta có:
- Do đó, góc giữa SC và AC là vì trong tam giác vuông cân, góc giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông là .
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là .
Đáp án đúng là:
Câu 5.
Để tính góc giữa hai mặt phẳng và trong hình lập phương , chúng ta cần xác định đường thẳng giao của hai mặt phẳng này và tìm góc giữa hai đường thẳng nằm trên mỗi mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng giao đó.
1. Xác định đường thẳng giao của hai mặt phẳng:
- Mặt phẳng bao gồm các đỉnh .
- Mặt phẳng bao gồm các đỉnh (tức là đường chéo của hình lập phương).
Đường thẳng giao của hai mặt phẳng và là đường thẳng .
2. Tìm góc giữa hai đường thẳng nằm trên mỗi mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng giao đó:
- Trên mặt phẳng , ta chọn đường thẳng (vuông góc với ).
- Trên mặt phẳng , ta chọn đường thẳng (vuông góc với ).
3. Góc giữa hai đường thẳng và chính là góc giữa hai mặt phẳng và .
Trong hình lập phương, đường thẳng và tạo thành một góc vuông (90°) với nhau. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng và là 90°.
Đáp án đúng là: .
Câu 6.
Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Điều này có nghĩa là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD.
Khi đó, ta xét hai điểm A và C trên đáy hình bình hành ABCD. Vì ABCD là hình bình hành, nên AC là đường chéo của nó. Đường chéo này chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau, tức là tam giác SAC và tam giác SAD có diện tích bằng nhau.
Do đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) sẽ bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
Theo đề bài, khoảng cách từ A đến (SBD) là . Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) cũng sẽ là .
Đáp án đúng là: D. .
Câu 7.
Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức thể tích của khối chóp:
Trong trường hợp này, ta có thể coi tam giác ABC là đáy và AD là chiều cao của khối chóp.
Bước 1: Tính diện tích đáy (tam giác ABC).
- Vì AB và AC vuông góc với nhau, nên diện tích tam giác ABC là:
Bước 2: Tính thể tích khối chóp ABCD.
- Chiều cao của khối chóp là AD = 3a.
- Thể tích của khối chóp ABCD là:
Vậy thể tích của khối tứ diện ABCD là .
Đáp án đúng là: .
Câu 8.
Biến cố là "Trong hai quyển vở được lấy, chỉ có 1 quyển ghi môn Tiếng Anh".
Biến cố là "Trong hai quyển vở được lấy, chỉ có 1 quyển ghi môn Ngữ Văn".
Biến cố giao của hai biến cố và là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố và đều xảy ra đồng thời.
- Nếu trong hai quyển vở được lấy, chỉ có 1 quyển ghi môn Tiếng Anh (biến cố ), thì quyển còn lại không thể là quyển ghi môn Tiếng Anh nữa.
- Nếu trong hai quyển vở được lấy, chỉ có 1 quyển ghi môn Ngữ Văn (biến cố ), thì quyển còn lại không thể là quyển ghi môn Ngữ Văn nữa.
Do đó, để cả hai biến cố và đều xảy ra đồng thời, quyển còn lại phải là quyển ghi môn Toán.
Vậy biến cố giao của hai biến cố và là "Trong hai quyển vở được lấy, một quyển ghi môn Tiếng Anh và một quyển ghi môn Ngữ Văn".
Đáp án đúng là: C. "Trong hai quyển vở được lấy, một quyển ghi môn Tiếng Anh và một quyển ghi môn Ngữ Văn".
Câu 9.
Để tính xác suất hai viên bi được chọn cùng màu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm tổng số cách chọn 2 viên bi từ hộp:
Hộp có tổng cộng 9 viên bi (4 xanh + 3 đỏ + 2 vàng). Số cách chọn 2 viên bi từ 9 viên bi là:
2. Tìm số cách chọn 2 viên bi cùng màu:
- Số cách chọn 2 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh:
- Số cách chọn 2 viên bi đỏ từ 3 viên bi đỏ:
- Số cách chọn 2 viên bi vàng từ 2 viên bi vàng:
Tổng số cách chọn 2 viên bi cùng màu là:
3. Tính xác suất:
Xác suất để chọn 2 viên bi cùng màu là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 10.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định số lượng bi chẵn trong hộp II:
- Biết rằng xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II là . Điều này có nghĩa là trong hộp II có 3 viên bi chẵn.
2. Xác định tổng số lượng bi trong hộp II:
- Vì xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn là , nên tổng số lượng bi trong hộp II là 10.
3. Xác định số lượng bi chẵn trong hộp I:
- Hộp I có 9 viên bi được đánh số từ 1 đến 9. Trong đó, các số chẵn là 2, 4, 6, 8. Vậy hộp I có 4 viên bi chẵn.
4. Tính xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn:
- Xác suất để lấy được viên bi chẵn từ hộp I là .
- Xác suất để lấy được viên bi chẵn từ hộp II là .
- Xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn là tích của hai xác suất trên:
Vậy xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn là .