vjnmmhjdjfjkrrkrkrjje $A.~\sqrt{14}.$ $B.~\frac{\sqrt{21}a}7.$ $C.~\frac{\sqrt2a}2.$ $D.~\frac{vzu}{28}.$,Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh đường thẳng SA vuông góc,mội mặt phẳng đây (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách từ trọng lâm G của tam giác SAB đến,mặt phẳng (SAC).,$A.~\frac{\sqrt2}3~cm.$ $B.~\frac{\sqrt3}3~cm.$ $C.~\frac{\sqrt2}2~cm.$ $D.~\sqrt3~cm.$

Question

Accepted Answer

Câu 12:
Để tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ các điểm:
   - Giả sử đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và S nằm trên trục thẳng đứng vuông góc với đáy tại A.
   - Ta chọn hệ tọa độ sao cho A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0), S(0, 0, h).

2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác SAB:
   - Trọng tâm G của tam giác SAB có tọa độ:
     $$
     G = \left( \frac{0 + a + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + h}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, 0, \frac{h}{3} \right)
     $$

3. Phương trình mặt phẳng (SAC):
   - Mặt phẳng (SAC) đi qua điểm S(0, 0, h) và hai vectơ SA và SC.
   - Vectơ SA = (0, 0, h) - (0, 0, 0) = (0, 0, h)
   - Vectơ SC = (a, a, 0) - (0, 0, h) = (a, a, -h)
   - Mặt phẳng (SAC) có phương trình:
     $$
     \begin{vmatrix}
     x & y & z-h \
     0 & 0 & h \
     a & a & -h
     \end{vmatrix} = 0
     $$
     $$
     x \cdot (-h) - y \cdot h + z \cdot 0 = 0 \Rightarrow -hx - hy = 0 \Rightarrow x + y = 0
     $$

4. Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SAC):
   - Phương trình mặt phẳng (SAC) là x + y = 0.
   - Khoảng cách từ điểm G $\left( \frac{a}{3}, 0, \frac{h}{3} \right)$ đến mặt phẳng x + y = 0:
     $$
     d = \frac{| \frac{a}{3} + 0 |}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{\frac{a}{3}}{\sqrt{2}} = \frac{a}{3\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{6}
     $$

5. Đối chiếu đáp án:
   - Nếu a = 1 (cạnh hình vuông), thì khoảng cách là $\frac{\sqrt{2}}{6}$.
   - Đáp án đúng là $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Vậy đáp án đúng là:
$$ \boxed{A.~\frac{\sqrt{2}}{3}~cm} $$