Cứu t với mg ơi Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, $AB=6~cm,~AC=8~cm.$ Tia phân giác của góc A,cắt BC tại D. Từ D kẻ $DE\bot AC.$,a) Chứng minh $\Delta EDC\backsim\Delta ABC;$,b) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, CD, DE.,Bài 11. Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh,rằng,$a)~\Delta AEB\backsim\Delta AFC$,$b)~\frac{HE}{HC}=\frac{HF}{HB}$,$c)~\Delta HEF\backsim\Delta HCB$,Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.,a) Chứng minh: $\Delta ABC\backsim\Delta HBA$,b) Chứng minh: $AH^2=BH.CH$,c) Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho $AD ,

Question

Cứu t với mg ơi Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, $AB=6~cm,~AC=8~cm.$ Tia phân giác của góc A,cắt BC tại D. Từ D kẻ $DE\bot AC.$,a) Chứng minh $\Delta EDC\backsim\Delta ABC;$,b) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, CD, DE.,Bài 11. Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh,rằng,$a)~\Delta AEB\backsim\Delta AFC$,$b)~\frac{HE}{HC}=\frac{HF}{HB}$,$c)~\Delta HEF\backsim\Delta HCB$,Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.,a) Chứng minh: $\Delta ABC\backsim\Delta HBA$,b) Chứng minh: $AH^2=BH.CH$,c) Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho $AD

,

Accepted Answer

Bài 10.
a) Ta có $\widehat{EAD}=\widehat{BAD}$ (D thuộc tia phân giác của góc A)

$\widehat{ADE}=\widehat{ABD}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta EAD\backsim \Delta BAD$ (g-g)

$\Rightarrow \frac{ED}{AB}=\frac{CD}{BC}$ (tỉ số cạnh tương ứng)

Mặt khác ta có $\widehat{C}$ chung và $\widehat{DEC}=\widehat{BAC}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta EDC\backsim \Delta ABC$ (g-g)

b) Ta có $BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=10~cm$

$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}$

$\Rightarrow CD=\frac{4}{7}\times 10=\frac{40}{7}~cm$

$\frac{ED}{AB}=\frac{CD}{BC}=\frac{4}{7}$

$\Rightarrow ED=\frac{4}{7}\times 6=\frac{24}{7}~cm$

$BD=BC-CD=10-\frac{40}{7}=\frac{30}{7}~cm$

Bài 11.
a) Ta có $\angle AEB=\angle AFC=90^{\circ}$
$\angle BAE=\angle CAF$ (góc chung)
Suy ra $\Delta AEB\backsim\Delta AFC$ (g-g)
b) Ta có $\Delta AEB\backsim\Delta AFC$ (chứng minh trên)
Suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CF}$
Mà $\angle BAH=\angle CAH$ (góc chung)
Suy ra $\Delta ABH\backsim\Delta ACH$ (cạnh kề góc bằng tỉ số)
Suy ra $\frac{AH}{AH}=\frac{BH}{CH}=\frac{AB}{AC}$
Từ đó ta có $\frac{BH}{CH}=\frac{BE}{CF}$
Suy ra $\frac{HE}{HC}=\frac{HF}{HB}$
c) Ta có $\frac{HE}{HC}=\frac{HF}{HB}$ (chứng minh trên)
$\angle EHF=\angle CHB$ (đối đỉnh)
Suy ra $\Delta HEF\backsim\Delta HCB$ (c-g-c)

Bài 12.
a) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$, ta có:
- $\angle B$ chung
- $\angle AHB = \angle CAB = 90^\circ$
Do đó, $\Delta ABC \backsim \Delta HBA$ (g-g)

b) Từ $\Delta ABC \backsim \Delta HBA$, ta có tỉ số đồng dạng:
$$ \frac{AB}{BH} = \frac{BC}{BA} $$
Nhân cả hai vế với $AB \times BH$, ta được:
$$ AB^2 = BH \times BC $$

c) Ta xét các tam giác $\Delta AMH$ và $\Delta ADN$:
- $\angle AMH = \angle ADN$ (hai góc so le trong)
- $\angle MAH = \angle DAN$ (hai góc đối đỉnh)
Do đó, $\Delta AMH \backsim \Delta ADN$ (g-g)

Từ tỉ số đồng dạng của hai tam giác này, ta có:
$$ \frac{MN}{MH} = \frac{DN}{AN} $$

Ta cũng xét các tam giác $\Delta AMH$ và $\Delta ACB$:
- $\angle AMH = \angle ACB$ (hai góc so le trong)
- $\angle MAH = \angle CAB$ (hai góc đối đỉnh)
Do đó, $\Delta AMH \backsim \Delta ACB$ (g-g)

Từ tỉ số đồng dạng của hai tam giác này, ta có:
$$ \frac{MH}{CB} = \frac{AM}{AC} $$

Tương tự, xét các tam giác $\Delta ADN$ và $\Delta ACB$:
- $\angle ADN = \angle ACB$ (hai góc so le trong)
- $\angle DAN = \angle CAB$ (hai góc đối đỉnh)
Do đó, $\Delta ADN \backsim \Delta ACB$ (g-g)

Từ tỉ số đồng dạng của hai tam giác này, ta có:
$$ \frac{DN}{CB} = \frac{AD}{AC} $$

Kết hợp các tỉ số đồng dạng trên, ta có:
$$ \frac{MN}{MH} = \frac{DN}{AN} = \frac{AD}{AC} $$

Vậy ta đã chứng minh được:
$$ \frac{MN}{MH} = \frac{AD}{AC} $$

Bài 13.
a) Ta có $\angle DAB=\angle AHD=90^\circ$
$\angle ADH=\angle ADB$ (cùng phếp với $\angle ADB)$
$\Rightarrow \Delta HAD\backsim\Delta ABD$ (g-g)
b) Ta có $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=25(cm)$
$\frac{AD}{BD}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AH=\frac{AD.AB}{BD}=\frac{15\times 20}{25}=12(cm)$
c) Ta có $\frac{AH}{AD}=\frac{HD}{AB}=\frac{AD}{BD}$
$\Rightarrow \frac{AH}{AD}=\frac{AD}{BD}$
$\Rightarrow AD^2=AH.BD$
Mặt khác ta có $\frac{HD}{AD}=\frac{AD}{BD}$
$\Rightarrow AD^2=HD.BD$
$\Rightarrow AH.BD=HD.BD$
$\Rightarrow AH^2=HD.HB$
d) Ta có $\Delta HAD\backsim\Delta ABD$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \frac{AH}{AD}=\frac{AD}{BD}$
$\Rightarrow AD^2=AH.BD$
Ta có $\Delta ABE$ vuông tại A có AK vuông góc với BE
$\Rightarrow AK^2=BK.KE$
Mà $BK=AB=AD$
$\Rightarrow AD^2=AK^2=BK.KE$
$\Rightarrow AH.BD=AK^2=BK.KE$
$\Rightarrow \frac{AH}{AK}=\frac{AK}{KE}=\frac{BK}{BD}$
$\Rightarrow \frac{AH}{AK}=\frac{BK}{BD}$
$\Rightarrow \frac{AH}{AK}=\frac{BF}{BD}$
$\Rightarrow \frac{AH}{AK}=\frac{AF}{AK}$
$\Rightarrow AH=AF$
$\Rightarrow \Delta AFK$ cân tại A
$\Rightarrow \angle AFK=\angle AHK=90^\circ$
$\Rightarrow H,~F,~K$ thẳng hàng.

Bài 14.
Để xác định các cặp hình đồng dạng và tính tỉ số đồng dạng tương ứng, chúng ta sẽ so sánh các góc và tỉ số của các cạnh tương ứng trong các hình.

1. Hình 1 và Hình 2:
   - Các góc của Hình 1 và Hình 2 đều bằng nhau (góc vuông và các góc khác).
   - Tỉ số của các cạnh tương ứng:
     $$
     \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}
     $$
     Ta thấy:
     $$
     \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
     $$
   Vậy Hình 1 và Hình 2 đồng dạng với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$.

2. Hình 3 và Hình 4:
   - Các góc của Hình 3 và Hình 4 đều bằng nhau (góc vuông và các góc khác).
   - Tỉ số của các cạnh tương ứng:
     $$
     \frac{DE}{D'E'} = \frac{EF}{E'F'} = \frac{DF}{D'F'}
     $$
     Ta thấy:
     $$
     \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{1}{2}
     $$
   Vậy Hình 3 và Hình 4 đồng dạng với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$.

3. Hình 5 và Hình 6:
   - Các góc của Hình 5 và Hình 6 đều bằng nhau (góc vuông và các góc khác).
   - Tỉ số của các cạnh tương ứng:
     $$
     \frac{GH}{G'H'} = \frac{HI}{H'I'} = \frac{GI}{G'I'}
     $$
     Ta thấy:
     $$
     \frac{5}{10} = \frac{12}{24} = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}
     $$
   Vậy Hình 5 và Hình 6 đồng dạng với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$.

Kết luận:
- Cặp hình đồng dạng: 
  - Hình 1 và Hình 2 với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$.
  - Hình 3 và Hình 4 với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$.
  - Hình 5 và Hình 6 với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$.