Câu 1.
Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, ta cần tính vectơ từ tọa độ của hai điểm A và B.
Tọa độ của điểm A là và tọa độ của điểm B là .
Vectơ được tính như sau:
Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là .
Trong các lựa chọn đã cho, vectơ này tương ứng với đáp án D.
Vậy đáp án đúng là:
Câu 2.
Trong không gian Oxyz, trục Ox là trục nằm trên mặt phẳng Oxy và song song với trục Ox của mặt phẳng tọa độ xy. Do đó, véc tơ chỉ phương của trục Ox sẽ có tọa độ là (1, 0, 0).
Lập luận từng bước:
1. Trục Ox nằm trên mặt phẳng Oxy và song song với trục Ox của mặt phẳng tọa độ xy.
2. Véc tơ chỉ phương của trục Ox sẽ có phần tọa độ x là 1, phần tọa độ y và z là 0.
Vậy véc tơ chỉ phương của trục Ox có tọa độ là (1, 0, 0).
Đáp án đúng là: B. (1, 0, 0).
Câu 3.
Khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox và hai đường thẳng , () xung quanh trục Ox.
Thể tích V của khối tròn xoay này được tính bằng công thức tích phân sau:
Lập luận từng bước:
1. Khi quay một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox và hai đường thẳng , xung quanh trục Ox, ta sẽ tạo ra một khối tròn xoay.
2. Diện tích của một vòng tròn nhỏ tại mỗi điểm trên đoạn là .
3. Thể tích của khối tròn xoay được tính bằng cách tích phân diện tích của các vòng tròn nhỏ này từ đến .
Do đó, công thức thể tích V của khối tròn xoay là:
Đáp án đúng là:
Câu 4.
Để tìm họ các nguyên hàm của hàm số , chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này.
1. Tìm nguyên hàm của :
Đây là công thức chuẩn cho nguyên hàm của hàm số lũy thừa cơ số khác 1.
2. Tìm nguyên hàm của :
3. Kết hợp hai nguyên hàm trên:
Trong đó, là hằng số tổng hợp từ hai hằng số nguyên hàm riêng lẻ.
Vậy họ các nguyên hàm của hàm số là:
Do đó, đáp án đúng là:
B. .
Câu 5.
Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng được cho bởi phương trình tham số , ta cần nhận biết rằng các số ở mẫu của phương trình này chính là các thành phần của vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng có dạng:
Từ đó, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng sẽ có các thành phần tương ứng với các số ở mẫu của phương trình trên, tức là:
Do đó, trong các lựa chọn đã cho, vectơ chỉ phương đúng của đường thẳng là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 6.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân và các giá trị đã cho.
Trước tiên, ta biết rằng:
và
Bây giờ, ta cần tính:
Theo tính chất của tích phân, ta có:
Thay các giá trị đã biết vào, ta được:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 7.
Để tính tích phân , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm nguyên hàm của :
Nguyên hàm của là . Do đó:
2. Áp dụng công thức tính tích phân:
Tích phân từ đến của sẽ là:
3. Thay cận vào nguyên hàm:
Thay và vào nguyên hàm :
4. Tính giá trị của các hàm sin:
5. Thực hiện phép trừ:
Do đó, tích phân có kết quả là .
Kết quả cuối cùng là:
Trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng với kết quả này. Tuy nhiên, nếu phải chọn trong các đáp án đã cho, thì đáp án gần đúng nhất là , vì gần bằng 0.8415, gần với 1.
Đáp án:
Câu 8.
Để tìm phương trình mặt cầu có đường kính AB, ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB:
- Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:
Thay tọa độ của A và B vào:
2. Tính bán kính của mặt cầu:
- Bán kính R của mặt cầu là khoảng cách từ trung điểm M đến một trong hai điểm A hoặc B.
- Ta tính khoảng cách từ M đến A:
Thay tọa độ của M và A vào:
3. Viết phương trình mặt cầu:
- Phương trình mặt cầu có tâm tại M và bán kính R là:
Thay tọa độ của M và giá trị của R vào:
Vậy phương trình mặt cầu có đường kính AB là:
Đáp án đúng là: B.~(x-1)^2+y^2+(z-2)^2=2.
Câu 9.
Phương trình mặt phẳng được cho là . Ta nhận thấy rằng véctơ pháp tuyến của mặt phẳng này sẽ có dạng sao cho phương trình mặt phẳng có thể viết lại dưới dạng .
Trong trường hợp này, ta có:
Do đó, véctơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Bây giờ, ta kiểm tra từng lựa chọn để xác định véctơ pháp tuyến đúng đắn:
- Lựa chọn A:
- Lựa chọn B:
- Lựa chọn C:
- Lựa chọn D:
Ta thấy rằng véctơ pháp tuyến là bội của véctơ pháp tuyến , cụ thể là:
Vậy, véctơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Đáp án đúng là: .
Câu 10.
Theo định lý Newton-Leibniz, nếu là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn , thì tích phân của từ đến được tính bằng:
Do đó, mệnh đề đúng là:
Đáp án: