giúp với ạ
xin cảm ơn Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có $AB=1,~AD=2.$,Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính,khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Question

giúp với ạ 
xin cảm ơn Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có $AB=1,~AD=2.$,Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính,khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Accepted Answer

{"userId":5412836,"userName":"Phan Tran Hoang Anh"}

Gọi $H$ là trung điểm của $AD$, ta có $SH \perp AD$ và $SH \perp (ABCD)$ vì $(SAD) \perp (ABCD)$. Do tam giác $SAD$ đều nên $SH = \frac{AD \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ta có $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.

Thể tích của khối chóp $S.ABD$ là $V_{S.ABD} = \frac{1}{3} SH \cdot S_{ABD} = \frac{1}{3} \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} AB \cdot AD = \frac{1}{6} \sqrt{3} \cdot 1 \cdot 2 = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ta có $BD = AC = \sqrt{5}$.

$SB = SD = \sqrt{SH^2 + (\frac{AD}{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$.

$S_{SBD} = \sqrt{p(p-SB)(p-SD)(p-BD)}$, với $p = \frac{SB+SD+BD}{2} = \frac{2+2+\sqrt{5}}{2} = 2 + \frac{\sqrt{5}}{2}$.

$S_{SBD} = \sqrt{(2+\frac{\sqrt{5}}{2}) (\frac{\sqrt{5}}{2}) (\frac{\sqrt{5}}{2}) (2 - \frac{\sqrt{5}}{2})} = \sqrt{(4 - \frac{5}{4})(\frac{5}{4})} = \sqrt{\frac{11}{4} \cdot \frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{55}}{4}$.

Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.

Ta có $V_{S.ABD} = V_{A.SBD} = \frac{1}{3} d \cdot S_{SBD}$.

Suy ra $d = \frac{3 V_{S.ABD}}{S_{SBD}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{55}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{55}}{4}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{55}} = \frac{4 \sqrt{165}}{55} \approx 0.94$.

Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ là khoảng $0,94$.

giúp với ạ xin cảm ơn