Câu 2:
a) Ta thấy phương trình của đường thẳng có dạng , tức là đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Mặt khác, phương trình của mặt phẳng là , tức là mặt phẳng có vectơ pháp tuyến . Ta thấy rằng và cùng phương, do đó đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . Do đó, nếu ta lấy tùy ý hai điểm phân biệt , thì hình chiếu của và lên sẽ trùng nhau, tức là . Vì vậy, , không phải là 2024. Vậy đáp án này sai.
b) Như đã chứng minh ở trên, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng , do đó góc giữa và là . Đáp án này đúng.
c) Ta thấy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là . Ta có thể rút gọn vectơ này thành bằng cách chia cả ba thành phần của vectơ cho 3. Vậy một vectơ pháp tuyến của là . Đáp án này đúng.
d) Như đã chứng minh ở trên, vectơ chỉ phương của đường thẳng là . Đáp án này đúng.
Kết luận:
- Đáp án a) sai.
- Đáp án b) đúng.
- Đáp án c) đúng.
- Đáp án d) đúng.
Câu 1.
Để tìm phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với và , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm tâm mặt cầu (I):
Tâm mặt cầu (I) là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta tính tọa độ của I như sau:
2. Tính bán kính R của mặt cầu:
Bán kính R là khoảng cách từ tâm I đến một trong hai điểm A hoặc B. Ta tính khoảng cách IA:
3. Viết phương trình mặt cầu:
Mặt cầu có tâm I và bán kính R có phương trình:
4. Tính :
Từ phương trình mặt cầu, ta thấy , , , và . Do đó:
Vậy, .
Đáp số:
Câu 2.
Để tính xác suất thành công trong việc bắn hạ máy bay đối phương, chúng ta cần xem xét các trường hợp có thể xảy ra và xác suất của mỗi trường hợp đó.
1. Xác suất máy bay xuất hiện ở khu vực A:
- Xác suất máy bay xuất hiện ở khu vực A là .
2. Xác suất máy bay xuất hiện ở khu vực B:
- Vì máy bay không ở A thì chắc chắn nó sẽ ở B, nên xác suất máy bay xuất hiện ở khu vực B là .
3. Xác suất bắn hạ máy bay khi nó ở khu vực A:
- Nếu máy bay ở khu vực A, quân đội sẽ bắn 1 quả tên lửa.
- Xác suất trúng mục tiêu của mỗi quả tên lửa là 0,8.
- Xác suất không trúng mục tiêu của mỗi quả tên lửa là .
- Xác suất bắn hạ máy bay khi nó ở khu vực A là .
4. Xác suất bắn hạ máy bay khi nó ở khu vực B:
- Nếu máy bay ở khu vực B, quân đội sẽ bắn 2 quả tên lửa.
- Xác suất không trúng mục tiêu của mỗi quả tên lửa là 0,2.
- Xác suất cả hai quả tên lửa đều không trúng mục tiêu là .
- Xác suất bắn hạ máy bay khi nó ở khu vực B là .
5. Tổng xác suất thành công trong việc bắn hạ máy bay:
- Xác suất thành công khi máy bay ở khu vực A là .
- Xác suất thành công khi máy bay ở khu vực B là .
- Tổng xác suất thành công là .
6. Kết quả cuối cùng:
- Xác suất thành công trong việc bắn hạ máy bay đối phương là , tức là 85,6%.
Đáp số: 85,6%.
Câu 3.
Để tìm giao điểm của hai đường thẳng và , ta cần tìm các giá trị của tham số và sao cho các tọa độ của hai đường thẳng trùng nhau.
Ta có:
Bây giờ, ta đặt các tọa độ của hai đường thẳng bằng nhau:
Từ phương trình (1):
Từ phương trình (2):
Từ phương trình (3):
Bây giờ, ta giải hệ phương trình (4) và (6):
Trừ phương trình (4) từ phương trình (6):
Thay vào phương trình (4):
Bây giờ, ta thay và vào các phương trình ban đầu để kiểm tra:
Vậy giao điểm của hai đường thẳng là .
Cuối cùng, ta tính :
Đáp số: .
Câu 4.
Để tính xác suất điều kiện , ta sử dụng công thức xác suất điều kiện:
Trong đó:
- là xác suất của cả hai biến cố A và B xảy ra cùng lúc.
- là xác suất của biến cố B.
Theo đề bài, ta có:
-
-
Áp dụng công thức trên, ta có:
Vậy xác suất là 0,25.
Đáp số: .
Bài 1.
Để tính , ta sử dụng công thức liên quan đến xác suất điều kiện và tính chất của xác suất.
Trước tiên, ta biết rằng:
Vì xác suất của biến cố A xảy ra khi B đã xảy ra cộng với xác suất của biến cố A không xảy ra khi B đã xảy ra sẽ bằng 1.
Ta đã biết:
Do đó:
Vậy, xác suất của biến cố xảy ra khi biến cố B đã xảy ra là:
Bài 2.
Để xác định góc giữa hai đường thẳng và , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm vector chỉ phương của mỗi đường thẳng:
- Đường thẳng có phương trình tham số:
Vector chỉ phương của là .
- Đường thẳng có phương trình:
Vector chỉ phương của là .
2. Tính tích vô hướng của hai vector chỉ phương:
3. Tính độ dài của hai vector chỉ phương:
4. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng:
5. Tính góc :
Vậy góc giữa hai đường thẳng và là:
Bài 3.
Để tính xác suất người đó mắc bệnh phổi, ta sẽ áp dụng công thức xác suất tổng và xác suất điều kiện.
Gọi:
- là sự kiện "người dân của tỉnh đó nghiện thuốc lá".
- là sự kiện "người dân của tỉnh đó mắc bệnh phổi".
Ta biết:
-
- (tỉ lệ người mắc bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá)
- (tỉ lệ người không mắc bệnh phổi trong số người không nghiện thuốc lá)
Từ đây, ta có:
Xác suất người đó mắc bệnh phổi là:
Trong đó:
Thay các giá trị vào công thức:
Vậy xác suất người đó mắc bệnh phổi là 0,29 (làm tròn đến hàng phần chục).
Đáp số: 0,29