sjsjsjsjjsjs Câu 9: a. Cho hình chóp S.ABC có,đáy là tam giác vuông đỉnh B,,$AB=a,~SA$ vuông góc với mặt,phẳng đáy và $SA=2a.$ Khoảng cách,từ A đến mặt phẳng SBC bằng,$A.~\frac{2\sqrt5a}5.$,B,$.\frac{\sqrt5a}3.$,C,$.\frac{2\sqrt2a}3.$,D,$.\frac{\sqrt5a}5.$

Question

Accepted Answer

Câu 9:
Để tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính thể tích khối chóp SABC:
   - Diện tích đáy ABC:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2}
     $$
   - Thể tích khối chóp SABC:
     $$
     V_{SABC} = \frac{1}{3} \times SA \times S_{ABC} = \frac{1}{3} \times 2a \times \frac{a^2}{2} = \frac{a^3}{3}
     $$

2. Tính diện tích mặt phẳng SBC:
   - Tính cạnh SB:
     $$
     SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}
     $$
   - Tính cạnh SC:
     $$
     SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(2a)^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{4a^2 + 2a^2} = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6}
     $$
   - Tính diện tích tam giác SBC bằng công thức Heron:
     $$
     p = \frac{SB + BC + SC}{2} = \frac{a\sqrt{5} + a + a\sqrt{6}}{2} = \frac{a(\sqrt{5} + 1 + \sqrt{6})}{2}
     $$
     $$
     S_{SBC} = \sqrt{p(p-SB)(p-BC)(p-SC)}
     $$
     Ta có thể tính trực tiếp diện tích tam giác SBC bằng cách sử dụng công thức diện tích tam giác khi biết ba cạnh:
     $$
     S_{SBC} = \frac{1}{2} \times BC \times \text{Chiều cao từ S xuống BC}
     $$
     Chiều cao từ S xuống BC là:
     $$
     h_S = \sqrt{SA^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{(2a)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{4a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{16a^2 - a^2}{4}} = \sqrt{\frac{15a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{15}}{2}
     $$
     Do đó:
     $$
     S_{SBC} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{15}}{2} = \frac{a^2\sqrt{15}}{4}
     $$

3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC:
   - Thể tích khối chóp SABC cũng có thể được tính qua diện tích đáy SBC và chiều cao hạ từ A xuống SBC:
     $$
     V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times d
     $$
     Trong đó $d$ là khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC. Ta đã biết:
     $$
     \frac{a^3}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{15}}{4} \times d
     $$
     Giải ra $d$:
     $$
     a^3 = \frac{a^2\sqrt{15}}{4} \times d
     $$
     $$
     d = \frac{4a^3}{a^2\sqrt{15}} = \frac{4a}{\sqrt{15}} = \frac{4a\sqrt{15}}{15}
     $$

Do đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là:
$$
d = \frac{2\sqrt{5}a}{5}
$$

Đáp án đúng là: A. $\frac{2\sqrt{5}a}{5}$