giúp bài đầu tiên Cho hsố $\begin{array}lx^3+3x^2-4x+1~có~thị~c~v_1=1\a,~M(-1,7)~y(-4)=-1)^3~(-1)^2~tt-1)^2-4~(-1\end{array}$,a) tại điểm $M(-1;7)$ $(C).=-\frac1y+3t_24+1=7.$,thuộc $y^\prime=3x^2+6x-4;$,b) tại điểm có hoành độ bằng $-2$ thuộc $(C).~y^\prime=3.(-1)^2+6.$,c) tại điểm có tung độ bằng 1 thuộc (C). $-3-6-4$,d) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 5.,e) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=20x-19.$,f) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=-\frac15x-2.$,Câu 21. Cho hàm số $y=\frac{3x-1}{2x+5}$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp,a) tại điểm $M(2;\frac59)$ thuộc (C).,b) tại giao điểm (C) và trục tung.,c) tại giao điểm (C) và trục hoành.,d) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng $\frac{17}4.$

Question

Accepted Answer

Câu 21.
Để viết phương trình tiếp tuyến của hàm số $y = \frac{3x - 1}{2x + 5}$ tại các điểm đã cho, ta thực hiện các bước sau:

a) Tiếp tuyến tại điểm $M(2; \frac{5}{9})$ thuộc (C).

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = \left(\frac{3x - 1}{2x + 5}\right)' = \frac{(3)(2x + 5) - (3x - 1)(2)}{(2x + 5)^2} = \frac{6x + 15 - 6x + 2}{(2x + 5)^2} = \frac{17}{(2x + 5)^2}
   $$

2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = 2$:
   $$
   y'(2) = \frac{17}{(2 \cdot 2 + 5)^2} = \frac{17}{9^2} = \frac{17}{81}
   $$

3. Viết phương trình tiếp tuyến:
   Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm $(x_0, y_0)$ là:
   $$
   y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0)
   $$
   Thay $x_0 = 2$, $y_0 = \frac{5}{9}$ và $y'(2) = \frac{17}{81}$ vào phương trình trên:
   $$
   y - \frac{5}{9} = \frac{17}{81}(x - 2)
   $$
   Nhân cả hai vế với 81 để loại bỏ mẫu số:
   $$
   81y - 45 = 17(x - 2)
   $$
   $$
   81y - 45 = 17x - 34
   $$
   $$
   81y = 17x + 11
   $$
   $$
   17x - 81y + 11 = 0
   $$

b) Tiếp tuyến tại giao điểm (C) và trục tung.

1. Tìm tọa độ giao điểm của (C) với trục tung:
   Tại trục tung, $x = 0$. Thay vào phương trình hàm số:
   $$
   y = \frac{3 \cdot 0 - 1}{2 \cdot 0 + 5} = -\frac{1}{5}
   $$
   Vậy giao điểm là $(0, -\frac{1}{5})$.

2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = 0$:
   $$
   y'(0) = \frac{17}{(2 \cdot 0 + 5)^2} = \frac{17}{25}
   $$

3. Viết phương trình tiếp tuyến:
   Thay $x_0 = 0$, $y_0 = -\frac{1}{5}$ và $y'(0) = \frac{17}{25}$ vào phương trình tiếp tuyến:
   $$
   y + \frac{1}{5} = \frac{17}{25}x
   $$
   Nhân cả hai vế với 25 để loại bỏ mẫu số:
   $$
   25y + 5 = 17x
   $$
   $$
   17x - 25y - 5 = 0
   $$

c) Tiếp tuyến tại giao điểm (C) và trục hoành.

1. Tìm tọa độ giao điểm của (C) với trục hoành:
   Tại trục hoành, $y = 0$. Thay vào phương trình hàm số:
   $$
   0 = \frac{3x - 1}{2x + 5}
   $$
   Điều này xảy ra khi $3x - 1 = 0$, tức là $x = \frac{1}{3}$.
   Vậy giao điểm là $(\frac{1}{3}, 0)$.

2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = \frac{1}{3}$:
   $$
   y'\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{17}{\left(2 \cdot \frac{1}{3} + 5\right)^2} = \frac{17}{\left(\frac{2}{3} + 5\right)^2} = \frac{17}{\left(\frac{17}{3}\right)^2} = \frac{17}{\frac{289}{9}} = \frac{17 \cdot 9}{289} = \frac{153}{289} = \frac{9}{17}
   $$

3. Viết phương trình tiếp tuyến:
   Thay $x_0 = \frac{1}{3}$, $y_0 = 0$ và $y'\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{9}{17}$ vào phương trình tiếp tuyến:
   $$
   y = \frac{9}{17}\left(x - \frac{1}{3}\right)
   $$
   Nhân cả hai vế với 17 để loại bỏ mẫu số:
   $$
   17y = 9\left(x - \frac{1}{3}\right)
   $$
   $$
   17y = 9x - 3
   $$
   $$
   9x - 17y - 3 = 0
   $$

d) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng $\frac{17}{4}$.

1. Tìm giá trị của $x$ sao cho đạo hàm bằng $\frac{17}{4}$:
   $$
   \frac{17}{(2x + 5)^2} = \frac{17}{4}
   $$
   Điều này xảy ra khi:
   $$
   (2x + 5)^2 = 4
   $$
   $$
   2x + 5 = \pm 2
   $$
   $$
   2x + 5 = 2 \quad \text{hoặc} \quad 2x + 5 = -2
   $$
   $$
   2x = -3 \quad \text{hoặc} \quad 2x = -7
   $$
   $$
   x = -\frac{3}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{7}{2}
   $$

2. Tìm tọa độ các điểm trên đường cong:
   - Khi $x = -\frac{3}{2}$:
     $$
     y = \frac{3 \left(-\frac{3}{2}\right) - 1}{2 \left(-\frac{3}{2}\right) + 5} = \frac{-\frac{9}{2} - 1}{-3 + 5} = \frac{-\frac{11}{2}}{2} = -\frac{11}{4}
     $$
     Điểm là $\left(-\frac{3}{2}, -\frac{11}{4}\right)$.
   
   - Khi $x = -\frac{7}{2}$:
     $$
     y = \frac{3 \left(-\frac{7}{2}\right) - 1}{2 \left(-\frac{7}{2}\right) + 5} = \frac{-\frac{21}{2} - 1}{-7 + 5} = \frac{-\frac{23}{2}}{-2} = \frac{23}{4}
     $$
     Điểm là $\left(-\frac{7}{2}, \frac{23}{4}\right)$.

3. Viết phương trình tiếp tuyến:
   - Tại điểm $\left(-\frac{3}{2}, -\frac{11}{4}\right)$:
     $$
     y + \frac{11}{4} = \frac{17}{4}\left(x + \frac{3}{2}\right)
     $$
     Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số:
     $$
     4y + 11 = 17\left(x + \frac{3}{2}\right)
     $$
     $$
     4y + 11 = 17x + \frac{51}{2}
     $$
     $$
     8y + 22 = 34x + 51
     $$
     $$
     34x - 8y + 29 = 0
     $$

- Tại điểm $\left(-\frac{7}{2}, \frac{23}{4}\right)$:
     $$
     y - \frac{23}{4} = \frac{17}{4}\left(x + \frac{7}{2}\right)
     $$
     Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số:
     $$
     4y - 23 = 17\left(x + \frac{7}{2}\right)
     $$
     $$
     4y - 23 = 17x + \frac{119}{2}
     $$
     $$
     8y - 46 = 34x + 119
     $$
     $$
     34x - 8y + 165 = 0
     $$

Đáp số:
a) $17x - 81y + 11 = 0$
b) $17x - 25y - 5 = 0$
c) $9x - 17y - 3 = 0$
d) $34x - 8y + 29 = 0$ và $34x - 8y + 165 = 0$