nsmwkwlwlwllwkwjwjejh Câu 7. Cho tam giác đều cạnh bằng 6cm nội tiếp đường tròn $(O;R).$ Bán kính R của đường,tròn (O) là,$A.~6\sqrt3~cm$ $B.~3\sqrt3~cm$ $C.~2\sqrt3~cm$ $D.~\sqrt3~cm$,Câu 8. Cho hình trụ (T) có bán kính đáy là 3cm và chiều cao là 6cm. Thể tích của hình trụ (T) là,$A.~6\pi~cm^3$ $B.~18\pi~cm^3$ $C.~36\pi~cm^3$ $D.~54\pi~cm^3$,II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm),Câu 1. (1,0 điểm) Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất I và II. Tính xác suất của,biến cố: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 9".,Câu 2. (1,0 điểm) Cho biểu thức $P=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}-\frac3{\sqrt x+3}-\frac{6\sqrt x}{x-9}~(x\geq0;x e9).$,a) Rút gọn biểu thức P.,b) Cho $Q=P.\frac{x+7}{\sqrt x-3}.$ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q.,Câu 3. (1,0 điểm) Một cây cầu treo có trụ tháp đôi cao 50m so với mặt của cây cầu và cách nhau,80m. Các dây cáp có dạng như đồ thị của hàm số $y=ax^2$ (hình vẽ) và được treo trên các đỉnh,tháp. Một bóng đèn được mắc vào điểm M trên dây cáp. Tính độ cao MN của bóng đèn, biết,điểm N cách tâm O của cây cầu là 30m.,,Câu 4. (1,0 điểm) Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình là một sân vận động đa năng với sức chứa,hơn 40 nghìn chỗ ngồi. Sân vận động này có mặt sân bóng đá hình chữ nhật bên trong còn bao,quanh là đường chạy điền kinh 8 làn. Hãy tính chiều dài và chiều rộng của mặt sân bóng đá hình,chữ nhật, biết mặt sân bóng đá có chiều dài hơn chiều rộng là 37m và diện tích của sân bóng đá,đỏ là $7140~m^3.$

Question

nsmwkwlwlwllwkwjwjejh Câu 7. Cho tam giác đều cạnh bằng 6cm nội tiếp đường tròn $(O;R).$ Bán kính R của đường,tròn (O) là,$A.~6\sqrt3~cm$ $B.~3\sqrt3~cm$ $C.~2\sqrt3~cm$ $D.~\sqrt3~cm$,Câu 8. Cho hình trụ (T) có bán kính đáy là 3cm và chiều cao là 6cm. Thể tích của hình trụ (T) là,$A.~6\pi~cm^3$ $B.~18\pi~cm^3$ $C.~36\pi~cm^3$ $D.~54\pi~cm^3$,II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm),Câu 1. (1,0 điểm) Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất I và II. Tính xác suất của,biến cố: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 9".,Câu 2. (1,0 điểm) Cho biểu thức $P=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}-\frac3{\sqrt x+3}-\frac{6\sqrt x}{x-9}~(x\geq0;x
e9).$,a) Rút gọn biểu thức P.,b) Cho $Q=P.\frac{x+7}{\sqrt x-3}.$ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q.,Câu 3. (1,0 điểm) Một cây cầu treo có trụ tháp đôi cao 50m so với mặt của cây cầu và cách nhau,80m. Các dây cáp có dạng như đồ thị của hàm số $y=ax^2$ (hình vẽ) và được treo trên các đỉnh,tháp. Một bóng đèn được mắc vào điểm M trên dây cáp. Tính độ cao MN của bóng đèn, biết,điểm N cách tâm O của cây cầu là 30m.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/91da02129d164fc2adc7c70afc3689e9.jpg />,Câu 4. (1,0 điểm) Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình là một sân vận động đa năng với sức chứa,hơn 40 nghìn chỗ ngồi. Sân vận động này có mặt sân bóng đá hình chữ nhật bên trong còn bao,quanh là đường chạy điền kinh 8 làn. Hãy tính chiều dài và chiều rộng của mặt sân bóng đá hình,chữ nhật, biết mặt sân bóng đá có chiều dài hơn chiều rộng là 37m và diện tích của sân bóng đá,đỏ là $7140~m^3.$

Accepted Answer

Câu 7.
Để tìm bán kính $ R $ của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh 6 cm, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính chiều cao của tam giác đều:
   Chiều cao của tam giác đều có công thức:
   $$
   h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{cạnh}
   $$
   Thay cạnh = 6 cm vào công thức:
   $$
   h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3} \text{ cm}
   $$

2. Tính bán kính $ R $ của đường tròn ngoại tiếp:
   Bán kính $ R $ của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều có công thức:
   $$
   R = \frac{2}{3} \times h
   $$
   Thay $ h = 3\sqrt{3} $ vào công thức:
   $$
   R = \frac{2}{3} \times 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ cm}
   $$

Vậy bán kính $ R $ của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh 6 cm là $ 2\sqrt{3} $ cm.

Đáp án đúng là: $ C.~2\sqrt{3}~cm $

Câu 8.
Thể tích của hình trụ được tính theo công thức:
$$ V = \pi r^2 h $$

Trong đó:
- $ r $ là bán kính đáy của hình trụ,
- $ h $ là chiều cao của hình trụ.

Áp dụng vào bài toán:
- Bán kính đáy $ r = 3 $ cm,
- Chiều cao $ h = 6 $ cm.

Thay các giá trị vào công thức:
$$ V = \pi \times 3^2 \times 6 $$
$$ V = \pi \times 9 \times 6 $$
$$ V = 54\pi \text{ cm}^3 $$

Vậy thể tích của hình trụ (T) là $ 54\pi \text{ cm}^3 $.

Đáp án đúng là: $ D.~54\pi~cm^3 $.

Câu 1.
Khi gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất, mỗi con xúc xắc có 6 mặt, mỗi mặt có số chấm từ 1 đến 6. Ta sẽ liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra khi gieo hai con xúc xắc.

Các kết quả có tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 9 là:
- Mặt 3 của xúc xắc I và mặt 6 của xúc xắc II (3 + 6 = 9)
- Mặt 4 của xúc xắc I và mặt 5 của xúc xắc II (4 + 5 = 9)
- Mặt 5 của xúc xắc I và mặt 4 của xúc xắc II (5 + 4 = 9)
- Mặt 6 của xúc xắc I và mặt 3 của xúc xắc II (6 + 3 = 9)

Như vậy, có 4 kết quả có tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 9.

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi gieo đồng thời hai con xúc xắc là:
$$ 6 \times 6 = 36 $$

Xác suất của biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 9" là:
$$ \frac{4}{36} = \frac{1}{9} $$

Đáp số: $\frac{1}{9}$

Câu 2.
Điều kiện xác định: $ x \geq 0; x \neq 9 $.

a) Rút gọn biểu thức $ P $:

Ta có:
$$ P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3}{\sqrt{x} + 3} - \frac{6\sqrt{x}}{x - 9} $$

Nhận thấy rằng $ x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) $, ta có thể viết lại biểu thức $ P $ dưới dạng:
$$ P = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} - \frac{3(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} - \frac{6\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} $$

Tổng quát hóa mẫu số chung:
$$ P = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3) - 3(\sqrt{x} - 3) - 6\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} $$

Rút gọn tử số:
$$ \sqrt{x}(\sqrt{x} + 3) - 3(\sqrt{x} - 3) - 6\sqrt{x} = x + 3\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 9 - 6\sqrt{x} = x + 9 - 6\sqrt{x} $$

Do đó:
$$ P = \frac{x + 9 - 6\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} $$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ Q $:

Biểu thức $ Q $ được cho là:
$$ Q = P \cdot \frac{x + 7}{\sqrt{x} - 3} $$

Thay $ P $ vào:
$$ Q = \left( \frac{x + 9 - 6\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \right) \cdot \frac{x + 7}{\sqrt{x} - 3} $$

Rút gọn biểu thức:
$$ Q = \frac{(x + 9 - 6\sqrt{x})(x + 7)}{(\sqrt{x} - 3)^2(\sqrt{x} + 3)} $$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ Q $, ta xét biểu thức $ x + 9 - 6\sqrt{x} $:
$$ x + 9 - 6\sqrt{x} = (\sqrt{x} - 3)^2 $$

Do đó:
$$ Q = \frac{(\sqrt{x} - 3)^2(x + 7)}{(\sqrt{x} - 3)^2(\sqrt{x} + 3)} = \frac{x + 7}{\sqrt{x} + 3} $$

Đặt $ t = \sqrt{x} $ (với $ t \geq 0 $):
$$ Q = \frac{t^2 + 7}{t + 3} $$

Ta có:
$$ Q = \frac{t^2 + 7}{t + 3} = t - 3 + \frac{16}{t + 3} $$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ Q $, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$ t - 3 + \frac{16}{t + 3} \geq 2\sqrt{(t - 3) \cdot \frac{16}{t + 3}} $$

Đẳng thức xảy ra khi:
$$ t - 3 = \frac{16}{t + 3} $$
$$ (t - 3)(t + 3) = 16 $$
$$ t^2 - 9 = 16 $$
$$ t^2 = 25 $$
$$ t = 5 $$ (vì $ t \geq 0 $)

Khi $ t = 5 $, ta có:
$$ Q = 5 - 3 + \frac{16}{5 + 3} = 2 + 2 = 4 $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ Q $ là 4, đạt được khi $ x = 25 $.

Câu 3.
Điểm M thuộc đồ thị của hàm số $y=ax^2$, do đó ta có $M(30;900a)$

Điểm A thuộc đồ thị của hàm số $y=ax^2$, do đó ta có $A(40;1600a)$

Điểm A có tung độ bằng 50 nên ta có $1600a=50$

Suy ra $a=\frac{1}{32}$

Thay vào ta được $M(30;\frac{225}{8})$

Vậy độ cao MN của bóng đèn là $\frac{225}{8}m$

Câu 4.
Gọi chiều dài và chiều rộng của mặt sân bóng đá hình chữ nhật là x và y (m, x > 0, y > 0).

Theo đề bài, ta có:
$$ x = y + 37 $$
$$ xy = 7140 $$

Thay $ x = y + 37 $ vào phương trình $ xy = 7140 $:
$$ (y + 37)y = 7140 $$
$$ y^2 + 37y - 7140 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai này:
$$ y = \frac{-37 \pm \sqrt{37^2 + 4 \times 7140}}{2} $$
$$ y = \frac{-37 \pm \sqrt{1369 + 28560}}{2} $$
$$ y = \frac{-37 \pm \sqrt{29929}}{2} $$
$$ y = \frac{-37 \pm 173}{2} $$

Ta có hai nghiệm:
$$ y_1 = \frac{136}{2} = 68 $$
$$ y_2 = \frac{-210}{2} = -105 $$ (loại vì chiều rộng không thể âm)

Vậy chiều rộng $ y = 68 $ m.

Chiều dài $ x = y + 37 = 68 + 37 = 105 $ m.

Đáp số: Chiều dài: 105 m, Chiều rộng: 68 m.