cho tam giác abc vuông tại a đường cao ah có ab=6cm ac=8cm.
a) Tính BC, BH, CH, AH.
b) Kẻ phân giác BD của gọc ABC ( D thụôc AC). tính AD, CD.
c) Kẻ AK vuông BD ( K thuộc BD). Chứng minh
AB² = BK.BD
BH.BC= BK.BD
Tam giác BKC đồng dạng tạm giác BHD

Question

cho tam giác abc vuông tại a đường cao ah có ab=6cm ac=8cm.
a) Tính BC, BH, CH, AH.
b) Kẻ phân giác BD của gọc ABC ( D thụôc AC). tính AD, CD.
c) Kẻ AK vuông BD ( K thuộc BD). Chứng minh
AB² = BK.BD 
BH.BC= BK.BD 
Tam giác BKC đồng dạng tạm giác BHD

Accepted Answer

a) Ta có:
$$ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} $$

Diện tích tam giác ABC:
$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2 $$

Diện tích tam giác ABC cũng có thể tính qua đường cao AH:
$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = 24 $$
$$ \frac{1}{2} \times 10 \times AH = 24 $$
$$ AH = \frac{24 \times 2}{10} = 4.8 \text{ cm} $$

Áp dụng tính chất đường cao trong tam giác vuông:
$$ AH^2 = BH \times CH $$
$$ 4.8^2 = BH \times CH $$
$$ 23.04 = BH \times CH $$

Ta cũng biết:
$$ BH + CH = BC = 10 $$

Giải hệ phương trình:
$$ BH + CH = 10 $$
$$ BH \times CH = 23.04 $$

Gọi $ BH = x $ và $ CH = y $:
$$ x + y = 10 $$
$$ xy = 23.04 $$

Phương trình bậc hai:
$$ t^2 - 10t + 23.04 = 0 $$

Giải phương trình này:
$$ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 92.16}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{7.84}}{2} = \frac{10 \pm 2.8}{2} $$

Do đó:
$$ t_1 = \frac{10 + 2.8}{2} = 6.4 $$
$$ t_2 = \frac{10 - 2.8}{2} = 3.6 $$

Vậy:
$$ BH = 3.6 \text{ cm} $$
$$ CH = 6.4 \text{ cm} $$

b) Kẻ phân giác BD của góc ABC (D thuộc AC). Ta có:
$$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$

Gọi $ AD = 3k $ và $ DC = 5k $:
$$ AD + DC = AC $$
$$ 3k + 5k = 8 $$
$$ 8k = 8 $$
$$ k = 1 $$

Vậy:
$$ AD = 3 \text{ cm} $$
$$ DC = 5 \text{ cm} $$

c) Kẻ AK vuông BD (K thuộc BD). Ta cần chứng minh:
$$ AB^2 = BK \times BD $$
$$ BH \times BC = BK \times BD $$
$$ \triangle BKC \sim \triangle BHD $$

Chứng minh:
- $ \angle ABK = \angle DBH $ (góc chung)
- $ \angle BAK = \angle BDH = 90^\circ $

Do đó:
$$ \triangle ABK \sim \triangle DBH $$

Từ đó ta có:
$$ \frac{AB}{BD} = \frac{BK}{BH} $$
$$ AB \times BH = BK \times BD $$

Vì $ AB = 6 \text{ cm} $ và $ BH = 3.6 \text{ cm} $:
$$ 6^2 = BK \times BD $$
$$ 36 = BK \times BD $$

Cũng có:
$$ BH \times BC = 3.6 \times 10 = 36 $$
$$ BK \times BD = 36 $$

Vậy:
$$ BH \times BC = BK \times BD $$

Cuối cùng, ta chứng minh:
$$ \triangle BKC \sim \triangle BHD $$

- $ \angle BKC = \angle BHD = 90^\circ $
- $ \angle KBC = \angle HBD $ (góc chung)

Do đó:
$$ \triangle BKC \sim \triangle BHD $$

Đáp số:
a) $ BC = 10 \text{ cm}, BH = 3.6 \text{ cm}, CH = 6.4 \text{ cm}, AH = 4.8 \text{ cm} $
b) $ AD = 3 \text{ cm}, DC = 5 \text{ cm} $
c) Chứng minh như trên.

cho tam giác abc vuông tại a đường cao ah có ab=6cm ac=8cm. a) Tính BC, BH, CH, AH. b) Kẻ phân giác BD của gọc ABC ( D thụôc AC). tính AD, CD. c) Kẻ AK vuông BD ( K thuộc BD). Chứng minh AB² = BK.BD B...