Câu 1.
Để rút gọn biểu thức với , chúng ta thực hiện các bước sau:
1. Viết lại căn bậc ba dưới dạng lũy thừa:
2. Thay vào biểu thức ban đầu:
3. Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số:
4. Tính hiệu của hai số mũ:
5. Kết quả cuối cùng:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 2.
Để xác định mệnh đề đúng với mọi số dương x, y, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các tính chất của hàm số logarit.
A.
Theo tính chất của hàm số logarit, ta có:
Mệnh đề này đúng.
B.
Theo tính chất của hàm số logarit, ta không có tính chất nào cho phép viết dưới dạng . Do đó, mệnh đề này sai.
C.
Theo tính chất của hàm số logarit, ta có:
Nhưng không có tính chất nào cho phép viết dưới dạng . Do đó, mệnh đề này sai.
D.
Theo tính chất của hàm số logarit, ta không có tính chất nào cho phép viết dưới dạng . Do đó, mệnh đề này sai.
Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi số dương x, y là:
Câu 3.
Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, các mặt phẳng song song với AB sẽ là những mặt phẳng chứa đường thẳng song song với AB.
- Mặt phẳng (SAD) chứa cạnh AD, không chứa AB nên không song song với AB.
- Mặt phẳng (SBC) chứa cạnh BC, không chứa AB nên không song song với AB.
- Mặt phẳng (SDC) chứa cạnh DC, không chứa AB nên không song song với AB.
- Mặt phẳng (ABCD) chính là đáy của hình chóp, chứa cả AB nên không thể song song với AB.
Tuy nhiên, ta cần tìm mặt phẳng song song với AB, tức là mặt phẳng chứa đường thẳng song song với AB. Trong các lựa chọn trên, chỉ có mặt phẳng (SBC) chứa đường thẳng song song với AB (vì BC // AD và AD // AB).
Do đó, mặt phẳng song song với AB là (SBC).
Đáp án: B. (SBC).
Câu 4.
Cấp số cộng có và .
Công thức tổng quát của dãy số cộng là:
Áp dụng vào bài toán này:
Do đó, khẳng định đúng là:
Câu 5.
Ta xét từng đáp án:
- Đáp án A:
Theo công thức xác suất của biến cố tổng của hai biến cố xung khắc, ta có . Do đó, đáp án này đúng.
- Đáp án B:
Đây là công thức xác suất của biến cố tích của hai biến cố độc lập, không liên quan đến biến cố xung khắc. Do đó, đáp án này sai.
- Đáp án C:
Đây không phải là công thức xác suất của biến cố tổng của hai biến cố xung khắc. Do đó, đáp án này sai.
- Đáp án D:
Do A và B là hai biến cố xung khắc, nên . Do đó, đáp án này sai.
Vậy đáp án đúng là:
Đáp số:
Câu 6.
Để xác định hàm số nào có đồ thị phù hợp với hình vẽ, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số một.
1. Kiểm tra hàm số :
- Hàm số là hàm số mũ với cơ số (khoảng 2.718). Đồ thị của nó tăng từ trái sang phải và đi qua điểm (0,1). Điều này không phù hợp với hình vẽ vì đồ thị trong hình vẽ giảm từ trái sang phải.
2. Kiểm tra hàm số :
- Hàm số cũng là hàm số mũ nhưng với cơ số và có dấu trừ ở mũ. Đồ thị của nó giảm từ trái sang phải và đi qua điểm (0,1). Điều này phù hợp với hình vẽ.
3. Kiểm tra hàm số :
- Hàm số là hàm số logarit với cơ số . Đồ thị của nó tăng từ trái sang phải và đi qua điểm (1,0). Điều này không phù hợp với hình vẽ vì đồ thị trong hình vẽ giảm từ trái sang phải.
4. Kiểm tra hàm số :
- Hàm số là hàm số logarit với cơ số 0,5. Đồ thị của nó giảm từ trái sang phải và đi qua điểm (1,0). Điều này không phù hợp với hình vẽ vì đồ thị trong hình vẽ đi qua điểm (0,1).
Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng chỉ có hàm số có đồ thị phù hợp với hình vẽ.
Đáp án: B.
Câu 7.
Để xác định hàm số nào liên tục trên , chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số theo các điều kiện liên tục.
A.
Hàm số này là một đa thức bậc ba. Các đa thức đều liên tục trên toàn bộ tập số thực . Do đó, hàm số này liên tục trên .
B.
Hàm số này là một phân thức. Để hàm số này liên tục trên , mẫu số phải khác 0. Ta có:
Do đó, hàm số này không liên tục tại điểm .
C.
Hàm số này là hàm tan. Hàm tan không liên tục tại các điểm , với là số nguyên. Do đó, hàm số này không liên tục trên toàn bộ tập số thực .
D.
Hàm số này là hàm căn bậc hai. Để hàm số này có nghĩa và liên tục, biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0. Ta có:
Do đó, hàm số này chỉ liên tục trên khoảng , không liên tục trên toàn bộ tập số thực .
Từ các phân tích trên, chỉ có hàm số A là liên tục trên toàn bộ tập số thực .
Đáp án đúng là: A. .
Câu 8.
Để tìm của hàm số , ta sử dụng định nghĩa đạo hàm tại một điểm:
Trước tiên, ta tính :
Do đó, ta có:
Ta nhận thấy rằng:
Vì vậy:
Khi , ta có thể giản ước phân số:
Thay vào biểu thức trên:
Như vậy, đáp án đúng là:
Đáp án: A.
Câu 9.
Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Điều này có nghĩa là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD.
Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) chính là độ dài đường vuông góc hạ từ điểm C xuống mặt phẳng (SAB).
Ta sẽ chứng minh rằng đường thẳng DB chính là đường vuông góc hạ từ điểm C xuống mặt phẳng (SAB).
1. Vì ABCD là hình vuông nên AC vuông góc với BD tại trung điểm O của BD.
2. Mặt khác, vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD), bao gồm cả BD.
3. Do đó, BD vuông góc với cả AC và SA, suy ra BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).
4. Vì BD vuông góc với mặt phẳng (SAC), nên BD cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAC), bao gồm cả SC.
5. Mặt khác, vì ABCD là hình vuông nên SC vuông góc với BD tại O.
6. Do đó, SC vuông góc với BD và BD vuông góc với SA, suy ra BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).
7. Vì BD vuông góc với mặt phẳng (SAC), nên BD cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAC), bao gồm cả AC.
8. Vì BD vuông góc với AC và BD vuông góc với SA, suy ra BD vuông góc với mặt phẳng (SAB).
Do đó, đường thẳng DB chính là đường vuông góc hạ từ điểm C xuống mặt phẳng (SAB). Vậy khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng độ dài đoạn thẳng DB.
Đáp án đúng là: D. DB.
Câu 10.
Phương trình có nghiệm là các giá trị của sao cho bằng 1.
Ta biết rằng khi , với là số nguyên.
Do đó, nghiệm của phương trình là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 11.
Để tính đạo hàm cấp hai của hàm số với , chúng ta thực hiện các bước sau:
1. Tính đạo hàm cấp một của hàm số:
2. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm phân thức :
Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 12.
Để tìm đạo hàm của hàm số , ta sử dụng công thức đạo hàm của hàm số dạng căn bậc hai.
Công thức đạo hàm của hàm số là:
Trong trường hợp này, . Ta tính đạo hàm của :
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số dạng căn bậc hai:
Vậy đạo hàm của hàm số là:
Do đó, đáp án đúng là: