Tính giá trị p + q. Câu 29 (4đ). Cho hai biến ngẫu nhiên liên tục X, Y sao,cho $X,Y\in[0;6].$ Gọi $f(x),g(x)$ lần lượt là hàm mật độ,xác suất của X và Y. Đồ thị hàm số $f(x)$ được biểu diễn,như hình sau:,,Biết rằng $f(x)+g(x)=k,\forall x\in[0;6]$ (với $k\in\mathbb{R}),$ và,$P(6k\leq Y\leq15k)=\frac qp$ (với $p,q\in\mathbb{N},$ p,q là các số,nguyên tố cùng nhau). Tính giá trị của biểu thức $p+q.$

Question

Tính giá trị p + q. Câu 29 (4đ). Cho hai biến ngẫu nhiên liên tục X, Y sao,cho $X,Y\in[0;6].$ Gọi $f(x),g(x)$ lần lượt là hàm mật độ,xác suất của X và Y. Đồ thị hàm số $f(x)$ được biểu diễn,như hình sau:,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/d05e8a178ec3420f901aebb180da0b07.jpg />,Biết rằng $f(x)+g(x)=k,\forall x\in[0;6]$ (với $k\in\mathbb{R}),$ và,$P(6k\leq Y\leq15k)=\frac qp$ (với $p,q\in\mathbb{N},$ p,q là các số,nguyên tố cùng nhau). Tính giá trị của biểu thức $p+q.$

Accepted Answer

$$ S_{f(x)} = \int_{0}^{6} f(x) \,dx = 1 \quad ext{và} \quad S_{g(x)} = \int_{0}^{6} g(x) \,dx = 1 $$

$$ \int_{0}^{6} (f(x) + g(x)) \,dx = \int_{0}^{6} k \,dx $$

$$ S_{f(x)} + S_{g(x)} = k \cdot (6 - 0) $$

$$ 1 + 1 = 6k \implies k = \frac{1}{3} $$

$$ P(2 \le Y \le 5) = \int_{2}^{5} g(x) \,dx = \int_{2}^{5} \left(\frac{1}{3} - f(x) ight) \,dx = \int_{2}^{5} \frac{1}{3} \,dx - \int_{2}^{5} f(x) \,dx $$

$$ S_k = (5-2) \cdot \frac{1}{3} = 1 $$

Diện tích hình thang trên với đáy

$f(2) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$, $f(3) = \frac{1}{4}$ và chiều cao $1$:

$$ S_1 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{4} ight) \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{12} = \frac{5}{24} $$

Diện tích hình chữ nhật trên với đáy $2$ và chiều cao $\frac{1}{4}$:

$$ S_2 = (5-3) \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $$

Tổng diện tích dưới $f(x)$ là:

$$ S_f = S_1 + S_2 = \frac{5}{24} + \frac{1}{2} = \frac{17}{24} $$

Vậy, xác suất cần tìm là:

$$ P(2 \le Y \le 5) = S_k - S_f = 1 - \frac{17}{24} = \frac{7}{24} $$

Theo đề bài, $P(6k \le Y \le 15k) = \frac{q}{p} = \frac{7}{24}$.

Vì $p, q$ là các số nguyên tố cùng nhau, ta có $q = 7$ và $p = 24$.

Giá trị của biểu thức $p + q$ là:

$$ p + q = 24 + 7 = 31 $$