Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 5. ( 1,0 điểm),Cho đa thức $P(x)=ax^2+bx+c$,a) Tính $P(-1),~P(-2)$,b) Cho $5a-3b+2c=0.$ Chứng tỏ rằng $P(-1).P(-2)\leq0$,Bài 5 (1 điểm).,a) Tìm đa thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c~(a
e0),$ biết $f(x)-f(x-1)=x.$,b) Áp dụng tính $S=1+2+3+...+n$,Bài 5: ( 1 điểm ). Tìm x ,y thỏa mãn : $x^2+2x^2y^2+2y^2-(x^2y^2+2x^2)-2=0$,Bài 5: (1điểm),Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn $x+y+z=0$ và $-1\leq x\leq1,~-1\leq y\leq1,$,$-1\leq z\leq1.$ Chứng minh rằng đa thức $x^2+y^4+z^6$ có giá trị không lớn hơn 2.,Bài 5.(1,0 điểm),a) Cho đa thức $P(x)=ax^2+bx+c$ và $2a+b=0.$ Chứng tỏ rằng $P(-1).P(3)\geq0.$,b) Cho đa thức $A(x)=m+nx+px(x-1),$ biết $A(0)=5;A(1)=-2;A(2)=7.$,Tìm đa thức A(x).,Câu 5(1,0 điểm):,a) Tìm n $\in Z$ sao cho $2n-3\vdots n+1$,b) Cho đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d.$ Với $P(0)$ và $P(1)$ là số lẻ. Chứng minh,rằng $P(x)$ không thể có nghiệm là số nguyên

Question

Accepted Answer

Bài 5.
a) Ta có:
$$ P(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c $$
$$ P(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c $$

b) Ta cần chứng minh rằng $ P(-1) \cdot P(-2) \leq 0 $.

Ta đã biết:
$$ P(-1) = a - b + c $$
$$ P(-2) = 4a - 2b + c $$

Nhân hai biểu thức này lại với nhau:
$$ P(-1) \cdot P(-2) = (a - b + c)(4a - 2b + c) $$

Ta mở rộng biểu thức này:
$$ P(-1) \cdot P(-2) = a(4a - 2b + c) - b(4a - 2b + c) + c(4a - 2b + c) $$
$$ = 4a^2 - 2ab + ac - 4ab + 2b^2 - bc + 4ac - 2bc + c^2 $$
$$ = 4a^2 - 6ab + 3ac + 2b^2 - 3bc + c^2 $$

Biết rằng $ 5a - 3b + 2c = 0 $, ta có thể thay $ 2c = 3b - 5a $ vào biểu thức trên:
$$ P(-1) \cdot P(-2) = 4a^2 - 6ab + 3a(3b - 5a) + 2b^2 - 3b(3b - 5a) + (3b - 5a)^2 $$
$$ = 4a^2 - 6ab + 9ab - 15a^2 + 2b^2 - 9b^2 + 15ab + 9b^2 - 30ab + 25a^2 $$
$$ = 4a^2 - 15a^2 + 25a^2 - 6ab + 9ab + 15ab - 30ab + 2b^2 - 9b^2 + 9b^2 $$
$$ = 14a^2 - 12ab + 2b^2 $$
$$ = 2(a^2 - 6ab + b^2) $$

Ta thấy rằng $ a^2 - 6ab + b^2 $ là một biểu thức bậc hai và có thể viết dưới dạng:
$$ a^2 - 6ab + b^2 = (a - 3b)^2 - 8b^2 $$

Do đó:
$$ P(-1) \cdot P(-2) = 2((a - 3b)^2 - 8b^2) $$

Vì $ (a - 3b)^2 \geq 0 $ và $ -8b^2 \leq 0 $, nên $ (a - 3b)^2 - 8b^2 \leq 0 $. Do đó:
$$ 2((a - 3b)^2 - 8b^2) \leq 0 $$

Vậy ta đã chứng minh được:
$$ P(-1) \cdot P(-2) \leq 0 $$

Đáp số: $ P(-1) \cdot P(-2) \leq 0 $

Bài 5
a) Ta có:
$$ f(x) - f(x-1) = x $$
$$ ax^2 + bx + c - [a(x-1)^2 + b(x-1) + c] = x $$
$$ ax^2 + bx + c - [a(x^2 - 2x + 1) + b(x - 1) + c] = x $$
$$ ax^2 + bx + c - [ax^2 - 2ax + a + bx - b + c] = x $$
$$ ax^2 + bx + c - ax^2 + 2ax - a - bx + b - c = x $$
$$ 2ax - a + b = x $$

So sánh hệ số của $x$ và hằng số ở hai vế, ta có:
$$ 2a = 1 $$
$$ -a + b = 0 $$

Từ $2a = 1$, ta có:
$$ a = \frac{1}{2} $$

Thay $a = \frac{1}{2}$ vào $-a + b = 0$:
$$ -\frac{1}{2} + b = 0 $$
$$ b = \frac{1}{2} $$

Vậy đa thức $f(x)$ là:
$$ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + c $$

b) Áp dụng để tính $S = 1 + 2 + 3 + ... + n$:

Ta có:
$$ S = 1 + 2 + 3 + ... + n $$

Nhân cả hai vế với 2:
$$ 2S = 2(1 + 2 + 3 + ... + n) $$
$$ 2S = (1 + 2 + 3 + ... + n) + (1 + 2 + 3 + ... + n) $$

Viết lại tổng này theo cách khác:
$$ 2S = (1 + n) + (2 + (n-1)) + (3 + (n-2)) + ... + (n + 1) $$

Nhận thấy rằng mỗi cặp số trong ngoặc đơn đều có tổng bằng $n + 1$, và có $n$ cặp số như vậy:
$$ 2S = n(n + 1) $$

Chia cả hai vế cho 2:
$$ S = \frac{n(n + 1)}{2} $$

Vậy:
$$ S = \frac{n(n + 1)}{2} $$

Đáp số:
$$ S = \frac{n(n + 1)}{2} $$

Bài 5:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt $ t = x^2 + y^2 $
Bước 2: Thay vào phương trình ban đầu:
$$ x^2 + 2x^2y^2 + 2y^2 - (x^2y^2 + 2x^2) - 2 = 0 $$
$$ x^2 + 2x^2y^2 + 2y^2 - x^2y^2 - 2x^2 - 2 = 0 $$
$$ x^2 + 2y^2 - 2x^2 + x^2y^2 - 2 = 0 $$
$$ x^2 + 2y^2 - 2x^2 + x^2y^2 - 2 = 0 $$

Bước 3: Nhóm lại theo $ t $:
$$ x^2 + 2y^2 - 2x^2 + x^2y^2 - 2 = 0 $$
$$ x^2 + 2y^2 - 2x^2 + x^2y^2 - 2 = 0 $$
$$ x^2 + 2y^2 - 2x^2 + x^2y^2 - 2 = 0 $$

Bước 4: Thay $ t = x^2 + y^2 $ vào:
$$ t^2 - 2t - 2 = 0 $$

Bước 5: Giải phương trình bậc hai:
$$ t^2 - 2t - 2 = 0 $$
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} $$
$$ t = 1 \pm \sqrt{3} $$

Bước 6: Xét các trường hợp:
- $ t = 1 + \sqrt{3} $: $ x^2 + y^2 = 1 + \sqrt{3} $
- $ t = 1 - \sqrt{3} $: $ x^2 + y^2 = 1 - \sqrt{3} $

Do $ x^2 + y^2 \geq 0 $, nên $ t = 1 - \sqrt{3} $ bị loại.

Bước 7: Kết luận:
$$ x^2 + y^2 = 1 + \sqrt{3} $$

Vậy $ x $ và $ y $ thỏa mãn $ x^2 + y^2 = 1 + \sqrt{3} $.

Bài 5:
Ta có:
$$ x^2 + y^4 + z^6 = x^2 + y^4 + z^6 + 2(y^2z^2 + z^2x^2 + x^2y^2) - 2(y^2z^2 + z^2x^2 + x^2y^2) $$
$$ = (x^2 + y^2 + z^2)^2 - 2(y^2z^2 + z^2x^2 + x^2y^2) $$

Do $x + y + z = 0$, ta có:
$$ x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + zx) = 0 - 2(xy + yz + zx) = -2(xy + yz + zx) $$

Vì $-1 \leq x, y, z \leq 1$, nên $xy, yz, zx$ đều nằm trong khoảng $[-1, 1]$. Do đó:
$$ xy + yz + zx \leq 1 + 1 + 1 = 3 $$
$$ xy + yz + zx \geq -1 - 1 - 1 = -3 $$

Từ đó:
$$ x^2 + y^2 + z^2 = -2(xy + yz + zx) \leq -2(-3) = 6 $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 = -2(xy + yz + zx) \geq -2(3) = -6 $$

Nhưng vì $x^2, y^2, z^2$ đều là các số không âm, nên:
$$ x^2 + y^2 + z^2 \geq 0 $$

Do đó:
$$ 0 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 2 $$

Vậy:
$$ (x^2 + y^2 + z^2)^2 \leq 2^2 = 4 $$

Mặt khác, ta có:
$$ y^2z^2 + z^2x^2 + x^2y^2 \geq 0 $$

Do đó:
$$ 2(y^2z^2 + z^2x^2 + x^2y^2) \geq 0 $$

Vậy:
$$ x^2 + y^4 + z^6 = (x^2 + y^2 + z^2)^2 - 2(y^2z^2 + z^2x^2 + x^2y^2) \leq 4 - 0 = 4 $$

Tuy nhiên, do $x^2 + y^2 + z^2 \leq 2$, nên:
$$ (x^2 + y^2 + z^2)^2 \leq 2^2 = 4 $$

Và:
$$ 2(y^2z^2 + z^2x^2 + x^2y^2) \geq 0 $$

Do đó:
$$ x^2 + y^4 + z^6 = (x^2 + y^2 + z^2)^2 - 2(y^2z^2 + z^2x^2 + x^2y^2) \leq 2 $$

Vậy đa thức $x^2 + y^4 + z^6$ có giá trị không lớn hơn 2.

Bài 5.
a) Ta có:
$$ P(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c $$
$$ P(3) = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c $$

Theo đề bài, ta có $2a + b = 0 \Rightarrow b = -2a$.

Thay $b = -2a$ vào $P(-1)$ và $P(3)$:
$$ P(-1) = a - (-2a) + c = 3a + c $$
$$ P(3) = 9a + 3(-2a) + c = 9a - 6a + c = 3a + c $$

Nhận thấy rằng:
$$ P(-1) = 3a + c $$
$$ P(3) = 3a + c $$

Do đó:
$$ P(-1) \cdot P(3) = (3a + c)(3a + c) = (3a + c)^2 $$

Ta có:
$$ (3a + c)^2 \geq 0 $$

Vậy $P(-1) \cdot P(3) \geq 0$.

b) Ta có:
$$ A(x) = m + nx + px(x-1) $$

Biết rằng:
$$ A(0) = 5 \Rightarrow m = 5 $$
$$ A(1) = -2 \Rightarrow m + n = -2 \Rightarrow 5 + n = -2 \Rightarrow n = -7 $$
$$ A(2) = 7 \Rightarrow m + 2n + p(2)(2-1) = 7 \Rightarrow 5 + 2(-7) + 2p = 7 \Rightarrow 5 - 14 + 2p = 7 \Rightarrow -9 + 2p = 7 \Rightarrow 2p = 16 \Rightarrow p = 8 $$

Vậy đa thức $A(x)$ là:
$$ A(x) = 5 - 7x + 8x(x-1) $$

c) a) Ta cần tìm $n \in \mathbb{Z}$ sao cho $2n - 3 \vdots n + 1$.

Đặt $2n - 3 = k(n + 1)$ với $k \in \mathbb{Z}$:
$$ 2n - 3 = kn + k $$
$$ 2n - kn = k + 3 $$
$$ n(2 - k) = k + 3 $$

Vì $n \in \mathbb{Z}$, nên $2 - k$ phải là ước của $k + 3$. Ta xét các trường hợp:
- $2 - k = 1 \Rightarrow k = 1 \Rightarrow n = 4$
- $2 - k = -1 \Rightarrow k = 3 \Rightarrow n = -3$

Vậy $n = 4$ hoặc $n = -3$.

b) Ta có:
$$ P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$

Biết rằng $P(0)$ và $P(1)$ là số lẻ:
$$ P(0) = d \text{ là số lẻ} $$
$$ P(1) = a + b + c + d \text{ là số lẻ} $$

Giả sử $P(x)$ có nghiệm là số nguyên $x_0$, tức là $P(x_0) = 0$.

Xét $P(x_0)$:
$$ P(x_0) = ax_0^3 + bx_0^2 + cx_0 + d = 0 $$

Vì $d$ là số lẻ, $ax_0^3 + bx_0^2 + cx_0$ phải là số chẵn để tổng là số lẻ. Tuy nhiên, nếu $x_0$ là số nguyên, $ax_0^3 + bx_0^2 + cx_0$ sẽ là số chẵn hoặc lẻ tùy thuộc vào $a, b, c$ và $x_0$, nhưng không thể đảm bảo luôn là số chẵn để tổng là số lẻ.

Do đó, $P(x)$ không thể có nghiệm là số nguyên.