Giải gúp m PHẦN IV. Câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày vào giấy từ câu 1 đến câu 3.,Câu 1. Cho $P(C)=\frac38;P(D)=\frac58;P(C\cup D)=\frac34.$ Tính $P(C|D).$,Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ $O(0;0;0),$ Máy,bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 700km sẽ hiển thị trên màn hình rada. Một máy bay đang ở vị,trí $A(-450;110;40),$ chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow v=(80;-60;0)$ và hướng,về đài kiểm soát không lưu. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu.,Câu 3. Một kho chứa các thùng sữa giống nhau (mỗi thùng chứa 30 hộp sữa). Các thùng được chia làm,3 loại theo tỷ lệ hỏng: Loại A: Mỗi thùng có 2 hộp sữa bị hỏng. Loại B: Mỗi thùng có 4 hộp sữa bị hỏng.,Loại C: Mỗi thùng có 5 hộp sữa bị hỏng. Biết rằng số thùng loại A bằng 3 lần số thùng loại B, và số,thùng loại C bằng 1/2 số thùng loại B. Chọn ngẫu nhiên một thùng từ kho, rồi từ đó chọn ngẫu nhiên 6,hộp sữa. Tính xác suất để chọn được đúng 1 hộp bị hỏng.,-----HẾT-----

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để tính $P(C|D)$, ta cần biết xác suất của sự kiện $C$ xảy ra khi biết rằng sự kiện $D$ đã xảy ra. Công thức để tính xác suất điều kiện là:

$$ P(C|D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)} $$

Trước tiên, ta cần tìm $P(C \cap D)$. Ta biết rằng:

$$ P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D) $$

Thay các giá trị đã cho vào công thức trên:

$$ \frac{3}{4} = \frac{3}{8} + \frac{5}{8} - P(C \cap D) $$

Tính tổng của $\frac{3}{8}$ và $\frac{5}{8}$:

$$ \frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{8}{8} = 1 $$

Do đó:

$$ \frac{3}{4} = 1 - P(C \cap D) $$

Giải phương trình này để tìm $P(C \cap D)$:

$$ P(C \cap D) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $$

Bây giờ, ta có thể tính $P(C|D)$:

$$ P(C|D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{2}{5} $$

Vậy, xác suất của sự kiện $C$ xảy ra khi biết rằng sự kiện $D$ đã xảy ra là:

$$ P(C|D) = \frac{2}{5} $$

Câu 2.
Để tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình đường thẳng d:
   - Đường thẳng d đi qua điểm A(-450; 110; 40) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v} = (80; -60; 0)$.
   - Phương trình tham số của đường thẳng d:
     $$
     \begin{cases}
     x = -450 + 80t \
     y = 110 - 60t \
     z = 40
     \end{cases}
     $$

2. Tìm tọa độ giao điểm H của đường thẳng d và đường thẳng đi qua O và vuông góc với d:
   - Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{v} = (80; -60; 0)$.
   - Đường thẳng đi qua O(0; 0; 0) và vuông góc với d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (80; -60; 0)$.
   - Phương trình đường thẳng này là:
     $$
     \begin{cases}
     x = 80s \
     y = -60s \
     z = 0
     \end{cases}
     $$
   - Để tìm giao điểm H, ta giải hệ phương trình:
     $$
     \begin{cases}
     -450 + 80t = 80s \
     110 - 60t = -60s \
     40 = 0
     \end{cases}
     $$
   - Từ phương trình thứ ba, ta thấy rằng z = 40 không thể bằng 0, do đó ta cần tìm giao điểm H dựa trên hai phương trình đầu tiên:
     $$
     \begin{cases}
     -450 + 80t = 80s \
     110 - 60t = -60s
     \end{cases}
     $$
   - Giải hệ phương trình này:
     $$
     \begin{cases}
     -450 + 80t = 80s \
     110 - 60t = -60s
     \end{cases}
     $$
     Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 4/3:
     $$
     \begin{cases}
     -450 + 80t = 80s \
     146.67 - 80t = -80s
     \end{cases}
     $$
     Cộng hai phương trình lại:
     $$
     -450 + 146.67 = 0 \Rightarrow s = \frac{-303.33}{160} = -1.8958
     $$
     Thay s vào phương trình đầu tiên:
     $$
     -450 + 80t = 80(-1.8958) \Rightarrow t = \frac{-450 - 151.664}{80} = -7.5208
     $$
   - Tọa độ giao điểm H:
     $$
     H = (-450 + 80(-7.5208); 110 - 60(-7.5208); 40) = (-1051.664; 551.248; 40)
     $$

3. Tính khoảng cách từ điểm H đến điểm O:
   - Khoảng cách từ H đến O:
     $$
     OH = \sqrt{(-1051.664)^2 + (551.248)^2 + 40^2} = \sqrt{1106000 + 303870 + 1600} = \sqrt{1411470} \approx 1188.03 \text{ km}
     $$

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là khoảng 1188.03 km.

Câu 3.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định số lượng thùng của mỗi loại.
2. Tính xác suất để chọn được đúng 1 hộp bị hỏng từ mỗi loại thùng.
3. Kết hợp xác suất từ các loại thùng để tìm xác suất tổng thể.

Bước 1: Xác định số lượng thùng của mỗi loại

Gọi số thùng loại B là $ x $.

- Số thùng loại A là $ 3x $.
- Số thùng loại C là $ \frac{x}{2} $.

Bước 2: Tính xác suất để chọn được đúng 1 hộp bị hỏng từ mỗi loại thùng

Loại A:
- Mỗi thùng có 2 hộp sữa bị hỏng và 28 hộp sữa tốt.
- Chọn ngẫu nhiên 6 hộp sữa từ 30 hộp sữa trong thùng.
- Số cách chọn 6 hộp sữa từ 30 hộp sữa là $ \binom{30}{6} $.
- Số cách chọn đúng 1 hộp bị hỏng và 5 hộp tốt là $ \binom{2}{1} \times \binom{28}{5} $.

Xác suất để chọn đúng 1 hộp bị hỏng từ thùng loại A là:
$$ P_A = \frac{\binom{2}{1} \times \binom{28}{5}}{\binom{30}{6}} $$

Loại B:
- Mỗi thùng có 4 hộp sữa bị hỏng và 26 hộp sữa tốt.
- Chọn ngẫu nhiên 6 hộp sữa từ 30 hộp sữa trong thùng.
- Số cách chọn 6 hộp sữa từ 30 hộp sữa là $ \binom{30}{6} $.
- Số cách chọn đúng 1 hộp bị hỏng và 5 hộp tốt là $ \binom{4}{1} \times \binom{26}{5} $.

Xác suất để chọn đúng 1 hộp bị hỏng từ thùng loại B là:
$$ P_B = \frac{\binom{4}{1} \times \binom{26}{5}}{\binom{30}{6}} $$

Loại C:
- Mỗi thùng có 5 hộp sữa bị hỏng và 25 hộp sữa tốt.
- Chọn ngẫu nhiên 6 hộp sữa từ 30 hộp sữa trong thùng.
- Số cách chọn 6 hộp sữa từ 30 hộp sữa là $ \binom{30}{6} $.
- Số cách chọn đúng 1 hộp bị hỏng và 5 hộp tốt là $ \binom{5}{1} \times \binom{25}{5} $.

Xác suất để chọn đúng 1 hộp bị hỏng từ thùng loại C là:
$$ P_C = \frac{\binom{5}{1} \times \binom{25}{5}}{\binom{30}{6}} $$

Bước 3: Kết hợp xác suất từ các loại thùng để tìm xác suất tổng thể

Số lượng thùng tổng cộng là:
$$ 3x + x + \frac{x}{2} = \frac{9x}{2} $$

Xác suất chọn thùng loại A là:
$$ P(\text{A}) = \frac{3x}{\frac{9x}{2}} = \frac{2}{3} $$

Xác suất chọn thùng loại B là:
$$ P(\text{B}) = \frac{x}{\frac{9x}{2}} = \frac{2}{9} $$

Xác suất chọn thùng loại C là:
$$ P(\text{C}) = \frac{\frac{x}{2}}{\frac{9x}{2}} = \frac{1}{9} $$

Xác suất tổng thể để chọn đúng 1 hộp bị hỏng là:
$$ P = P(\text{A}) \cdot P_A + P(\text{B}) \cdot P_B + P(\text{C}) \cdot P_C $$

Thay các giá trị vào:
$$ P = \left( \frac{2}{3} \right) \cdot \left( \frac{\binom{2}{1} \times \binom{28}{5}}{\binom{30}{6}} \right) + \left( \frac{2}{9} \right) \cdot \left( \frac{\binom{4}{1} \times \binom{26}{5}}{\binom{30}{6}} \right) + \left( \frac{1}{9} \right) \cdot \left( \frac{\binom{5}{1} \times \binom{25}{5}}{\binom{30}{6}} \right) $$

Kết luận
$$ P = \frac{2}{3} \cdot \frac{\binom{2}{1} \times \binom{28}{5}}{\binom{30}{6}} + \frac{2}{9} \cdot \frac{\binom{4}{1} \times \binom{26}{5}}{\binom{30}{6}} + \frac{1}{9} \cdot \frac{\binom{5}{1} \times \binom{25}{5}}{\binom{30}{6}} $$

Đây là xác suất để chọn được đúng 1 hộp bị hỏng khi chọn ngẫu nhiên một thùng từ kho và từ đó chọn ngẫu nhiên 6 hộp sữa.