gghhhyyyhh Câu 4: Một vận động viên thể thao hai môn phối hợp luyện tập với một bể bơi hình chữ nhật rộng,400 m , dài 800 m .,,Vận động viên chạy phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ điểm A, chạy đến điểm X và,bơi từ điểm X đến điểm C (Hình 4). Hỏi nên chọn điểm X cách A gần bằng bao nhiêu mét,để vận động viên đến C nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng vận tốc,chạy là 30 km/h, vận tốc bơi là 6 km/h.

Question

gghhhyyyhh Câu 4: Một vận động viên thể thao hai môn phối hợp luyện tập với một bể bơi hình chữ nhật rộng,400 m , dài 800 m .,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/55adb62f43a7428b89021ed8a1cb73d9.jpg />,Vận động viên chạy phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ điểm A, chạy đến điểm X và,bơi từ điểm X đến điểm C (Hình 4). Hỏi nên chọn điểm X cách A gần bằng bao nhiêu mét,để vận động viên đến C nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng vận tốc,chạy là 30 km/h, vận tốc bơi là 6 km/h.

Accepted Answer

Câu 4:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của thời gian vận động viên hoàn thành quãng đường từ A đến C.

Bước 1: Xác định các đại lượng liên quan
- Chiều rộng bể bơi: 400 m
- Chiều dài bể bơi: 800 m
- Vận tốc chạy: 30 km/h = $\frac{30 \times 1000}{60 \times 60} = \frac{25}{3}$ m/s
- Vận tốc bơi: 6 km/h = $\frac{6 \times 1000}{60 \times 60} = \frac{5}{3}$ m/s

Bước 2: Gọi khoảng cách từ A đến X là x (0 ≤ x ≤ 800)
- Khoảng cách từ X đến B là 800 - x
- Khoảng cách từ B đến C là 400 m

Bước 3: Tính thời gian chạy và thời gian bơi
- Thời gian chạy từ A đến X: $\frac{x}{\frac{25}{3}} = \frac{3x}{25}$ giây
- Thời gian bơi từ X đến C: $\frac{\sqrt{(800-x)^2 + 400^2}}{\frac{5}{3}} = \frac{3\sqrt{(800-x)^2 + 400^2}}{5}$ giây

Bước 4: Xác định tổng thời gian
Tổng thời gian vận động viên hoàn thành quãng đường từ A đến C là:
$$ t(x) = \frac{3x}{25} + \frac{3\sqrt{(800-x)^2 + 400^2}}{5} $$

Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng thời gian
Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ t(x) $, chúng ta sẽ tính đạo hàm của $ t(x) $ và tìm điểm cực tiểu.

$$ t'(x) = \frac{3}{25} + \frac{3}{5} \cdot \frac{-2(800-x)}{2\sqrt{(800-x)^2 + 400^2}} $$
$$ t'(x) = \frac{3}{25} - \frac{3(800-x)}{5\sqrt{(800-x)^2 + 400^2}} $$

Đặt $ t'(x) = 0 $:
$$ \frac{3}{25} = \frac{3(800-x)}{5\sqrt{(800-x)^2 + 400^2}} $$
$$ \frac{1}{25} = \frac{800-x}{5\sqrt{(800-x)^2 + 400^2}} $$
$$ \sqrt{(800-x)^2 + 400^2} = 5(800-x) $$
$$ (800-x)^2 + 400^2 = 25(800-x)^2 $$
$$ 400^2 = 24(800-x)^2 $$
$$ 160000 = 24(800-x)^2 $$
$$ (800-x)^2 = \frac{160000}{24} $$
$$ (800-x)^2 = \frac{20000}{3} $$
$$ 800-x = \sqrt{\frac{20000}{3}} $$
$$ x = 800 - \sqrt{\frac{20000}{3}} $$
$$ x \approx 800 - 81.65 $$
$$ x \approx 718.35 $$

Vậy, điểm X cách A gần bằng 718 m để vận động viên đến C nhanh nhất.