hzbhdhdhddhdh đến hàng đơn vị).,PHẦN IV. Tự luận. Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi.,Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng $5\sqrt2,$ tam giác SAD vuông cân,tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng,CD và SB .,Câu 2. C ho hình chóp S.ABC có $SA\bot(ABC)$ Tam giác ABC vuông tại A,,$ABC=30^0,~AC=a,~SA=\frac{a\sqrt3}2.$ Tính số đo góc phẳng nhị diện [S,BC,A). (kết quả được tính theo,-/( ơnnvịị độ,$\frac15$ Câu 3. Bất phương trình $\log_2(3x-2)\log_2(6-5x)$ có tập nghiệm là $(a;b)$ Tổng $a+b$ bằng?

Question

hzbhdhdhddhdh đến hàng đơn vị).,PHẦN IV. Tự luận. Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi.,Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng $5\sqrt2,$ tam giác SAD vuông cân,tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng,CD và SB .,Câu 2. C ho hình chóp S.ABC có $SA\bot(ABC)$ Tam giác ABC vuông tại A,,$ABC=30^0,~AC=a,~SA=\frac{a\sqrt3}2.$ Tính số đo góc phẳng nhị diện [S,BC,A). (kết quả được tính theo,-/( ơnnvịị độ,$\frac15$ Câu 3. Bất phương trình $\log_2(3x-2)>\log_2(6-5x)$ có tập nghiệm là $(a;b)$ Tổng $a+b$ bằng?

Accepted Answer

Câu 1. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng $5\sqrt{2}$. - Tam giác SAD vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). 2. Tìm tọa độ các đỉnh: - Gọi A(0, 0, 0), B($5\sqrt{2}$, 0, 0), C($5\sqrt{2}$, $5\sqrt{2}$, 0), D(0, $5\sqrt{2}$, 0). - Vì tam giác SAD vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD), ta có S(0, 0, 5). 3. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng: - Đường thẳng CD có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{CD} = (0 - 5\sqrt{2}, 5\sqrt{2} - 5\sqrt{2}, 0 - 0) = (-5\sqrt{2}, 0, 0)$. - Đường thẳng SB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{SB} = (5\sqrt{2} - 0, 0 - 0, 0 - 5) = (5\sqrt{2}, 0, -5)$. 4. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa CD và SB: - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng chứa CD và SB là tích vector của $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{SB}$: $$ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{SB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -5\sqrt{2} & 0 & 0 \ 5\sqrt{2} & 0 & -5 \end{vmatrix} = (0, 25\sqrt{2}, 0) $$ 5. Tìm khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD: - Chọn điểm M trên đường thẳng CD, ví dụ M(0, $5\sqrt{2}$, 0). - Vectơ $\overrightarrow{SM} = (0 - 0, 5\sqrt{2} - 0, 0 - 5) = (0, 5\sqrt{2}, -5)$. - Khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD là: $$ d(S, CD) = \frac{|\overrightarrow{SM} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} = \frac{|(0, 5\sqrt{2}, -5) \cdot (0, 25\sqrt{2}, 0)|}{\sqrt{(0)^2 + (25\sqrt{2})^2 + (0)^2}} = \frac{|0 + 250 + 0|}{25\sqrt{2}} = \frac{250}{25\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} $$ 6. Kết luận: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB là $5$. Đáp số: $5$. Câu 2. Để tính số đo góc phẳng nhị diện [S,BC,A), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định đường cao từ đỉnh S hạ xuống mặt phẳng (ABC): Vì $ SA \perp (ABC) $, nên $ SA $ chính là đường cao hạ từ đỉnh $ S $ xuống mặt phằng $ (ABC) $. 2. Tìm giao điểm của đường cao từ $ S $ với $ BC $: Gọi $ H $ là chân đường cao hạ từ $ S $ xuống $ BC $. Ta cần tìm $ H $ để xác định góc phẳng nhị diện. 3. Xác định góc phẳng nhị diện: Góc phẳng nhị diện [S,BC,A) sẽ là góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC) $. Ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng $ SH $ và $ AH $. 4. Tính toán các đoạn thẳng liên quan: - Trong tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ với $ \angle ABC = 30^\circ $: $$ AB = AC \cdot \tan(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} $$ $$ BC = \frac{AC}{\cos(30^\circ)} = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} $$ - Trong tam giác $ SAB $ vuông tại $ A $: $$ SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{9a^2 + 4a^2}{12}} = \sqrt{\frac{13a^2}{12}} = \frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}} $$ - Trong tam giác $ SAC $ vuông tại $ A $: $$ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2 + 4a^2}{4}} = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{7}}{2} $$ 5. Tính góc phẳng nhị diện: Gọi $ \theta $ là góc giữa $ SH $ và $ AH $. Ta có: $$ \sin(\theta) = \frac{SA}{SC} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{3}{7}} $$ $$ \theta = \arcsin\left(\sqrt{\frac{3}{7}}\right) $$ 6. Kết luận: Số đo góc phẳng nhị diện [S,BC,A) là: $$ \boxed{\arcsin\left(\sqrt{\frac{3}{7}}\right)} $$ Câu 3. Để giải bất phương trình $\log_2(3x-2) > \log_2(6-5x)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log_2(3x-2)$, ta có: $3x - 2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{3}$ - Đối với $\log_2(6-5x)$, ta có: $6 - 5x > 0 \Rightarrow x < \frac{6}{5}$ Vậy ĐKXĐ của bất phương trình là: $$ \frac{2}{3} < x < \frac{6}{5} $$ 2. Giải bất phương trình: Vì $\log_2$ là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó, nên ta có: $$ \log_2(3x-2) > \log_2(6-5x) \Rightarrow 3x - 2 > 6 - 5x $$ Giải bất phương trình này: $$ 3x + 5x > 6 + 2 \Rightarrow 8x > 8 \Rightarrow x > 1 $$ 3. Lấy giao của các điều kiện: Kết hợp điều kiện xác định $\frac{2}{3} < x < \frac{6}{5}$ và điều kiện từ bất phương trình $x > 1$, ta có: $$ 1 < x < \frac{6}{5} $$ 4. Tìm tổng $a + b$: Tập nghiệm của bất phương trình là $(1; \frac{6}{5})$. Vậy $a = 1$ và $b = \frac{6}{5}$. Tổng $a + b$ là: $$ a + b = 1 + \frac{6}{5} = \frac{5}{5} + \frac{6}{5} = \frac{11}{5} $$ Đáp số: $\frac{11}{5}$