giup minh vơi

Câu 1: Để tìm góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số: \[ \frac{x+2}{1} = \frac{y-5}{2} = \frac{z}{-2} \] Từ đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \vec{u} = (1, 2, -2) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$: Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: \[ 12y + 5z + 1 = 0 \] Từ đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: \[ \vec{n} = (0, 12, 5) \] 3. Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$: Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$. Ta có: \[ \sin(\theta) = \cos(\alpha) \] trong đó $\alpha$ là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Ta tính $\cos(\alpha)$ bằng công thức: \[ \cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|} \] Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{n}$: \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 12 + (-2) \cdot 5 = 0 + 24 - 10 = 14 \] Tính độ dài của vectơ $\vec{u}$: \[ |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Tính độ dài của vectơ $\vec{n}$: \[ |\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 12^2 + 5^2} = \sqrt{0 + 144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \] Vậy: \[ \cos(\alpha) = \frac{14}{3 \times 13} = \frac{14}{39} \] Do đó: \[ \sin(\theta) = \cos(\alpha) = \frac{14}{39} \] Tính $\theta$: \[ \theta = \arcsin\left(\frac{14}{39}\right) \] Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $\theta$: \[ \theta \approx 22^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là khoảng 22 độ. Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm I. 2. Tìm tọa độ của điểm J. 3. Tìm tọa độ của điểm M. 4. Tính khoảng cách JM. Bước 1: Xác định tọa độ của điểm I. Phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x-20)^2 + (y-30)^2 + (z-10)^2 = 400$. Tọa độ tâm của mặt cầu là $I(20, 30, 10)$. Bước 2: Tìm tọa độ của điểm J. Điểm J là hình chiếu vuông góc của điểm I lên mặt phẳng $(P): z = 0$. Do đó, tọa độ của điểm J là $J(20, 30, 0)$. Bước 3: Tìm tọa độ của điểm M. Điểm M nằm trên mặt cầu $(S)$ và trên mặt phẳng $(P)$. Vì vậy, tọa độ của điểm M sẽ có dạng $(x, y, 0)$. Thay vào phương trình mặt cầu: \[ (x - 20)^2 + (y - 30)^2 + (0 - 10)^2 = 400 \] \[ (x - 20)^2 + (y - 30)^2 + 100 = 400 \] \[ (x - 20)^2 + (y - 30)^2 = 300 \] Đây là phương trình của một đường tròn tâm $(20, 30)$ và bán kính $\sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ trên mặt phẳng $z = 0$. Bước 4: Tính khoảng cách JM. Để tính khoảng cách JM, chúng ta cần biết tọa độ của điểm M. Ta chọn một điểm M bất kỳ trên đường tròn này, ví dụ điểm M có tọa độ $(20 + 10\sqrt{3}, 30, 0)$. Khoảng cách JM là: \[ JM = \sqrt{(20 + 10\sqrt{3} - 20)^2 + (30 - 30)^2 + (0 - 0)^2} \] \[ JM = \sqrt{(10\sqrt{3})^2} \] \[ JM = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \text{ mét} \] Vậy, độ dài đoạn thẳng JM là 17.32 mét.