giup minh vơi PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu hỏi từ câu 1 đến câu 6.(3 điểm),Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x+2}1=\frac{y-5}2=\frac z{-2}$ và mặt phẳng $(P):~12y+5z+1=0$,. Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn,vị)?,Câu 2: Một khu vực đã được thiết lập một hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Một flycam đang,ở vị trí I phát sóng wifi bao phủ một vùng không gian bên trong,$(S):~(x-20)^2+(y-30)^2+(z-10)^2=400.$ Một người đang sử dụng máy tính tại điểm M nằm trên,điểm giao của mặt cầu (S) và mặt đất $(P):~z=0.$ Biết IJ của đoạn vuông góc từ I đến (P). Tính,độ dài đoạn thẳng JM ( làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét)?

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để tìm góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:
   Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số:
   $$
   \frac{x+2}{1} = \frac{y-5}{2} = \frac{z}{-2}
   $$
   Từ đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là:
   $$
   \vec{u} = (1, 2, -2)
   $$

2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$:
   Mặt phẳng $(P)$ có phương trình:
   $$
   12y + 5z + 1 = 0
   $$
   Từ đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:
   $$
   \vec{n} = (0, 12, 5)
   $$

3. Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$:
   Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$. Ta có:
   $$
   \sin(\theta) = \cos(\alpha)
   $$
   trong đó $\alpha$ là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Ta tính $\cos(\alpha)$ bằng công thức:
   $$
   \cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|}
   $$

Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{n}$:
   $$
   \vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 12 + (-2) \cdot 5 = 0 + 24 - 10 = 14
   $$

Tính độ dài của vectơ $\vec{u}$:
   $$
   |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
   $$

Tính độ dài của vectơ $\vec{n}$:
   $$
   |\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 12^2 + 5^2} = \sqrt{0 + 144 + 25} = \sqrt{169} = 13
   $$

Vậy:
   $$
   \cos(\alpha) = \frac{14}{3 \times 13} = \frac{14}{39}
   $$

Do đó:
   $$
   \sin(\theta) = \cos(\alpha) = \frac{14}{39}
   $$

Tính $\theta$:
   $$
   \theta = \arcsin\left(\frac{14}{39}\right)
   $$

Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $\theta$:
   $$
   \theta \approx 22^\circ
   $$

Vậy góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là khoảng 22 độ.

Câu 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ của điểm I.
2. Tìm tọa độ của điểm J.
3. Tìm tọa độ của điểm M.
4. Tính khoảng cách JM.

Bước 1: Xác định tọa độ của điểm I.
Phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x-20)^2 + (y-30)^2 + (z-10)^2 = 400$. 
Tọa độ tâm của mặt cầu là $I(20, 30, 10)$.

Bước 2: Tìm tọa độ của điểm J.
Điểm J là hình chiếu vuông góc của điểm I lên mặt phẳng $(P): z = 0$. Do đó, tọa độ của điểm J là $J(20, 30, 0)$.

Bước 3: Tìm tọa độ của điểm M.
Điểm M nằm trên mặt cầu $(S)$ và trên mặt phẳng $(P)$. Vì vậy, tọa độ của điểm M sẽ có dạng $(x, y, 0)$. Thay vào phương trình mặt cầu:
$$
(x - 20)^2 + (y - 30)^2 + (0 - 10)^2 = 400
$$
$$
(x - 20)^2 + (y - 30)^2 + 100 = 400
$$
$$
(x - 20)^2 + (y - 30)^2 = 300
$$

Đây là phương trình của một đường tròn tâm $(20, 30)$ và bán kính $\sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ trên mặt phẳng $z = 0$.

Bước 4: Tính khoảng cách JM.
Để tính khoảng cách JM, chúng ta cần biết tọa độ của điểm M. Ta chọn một điểm M bất kỳ trên đường tròn này, ví dụ điểm M có tọa độ $(20 + 10\sqrt{3}, 30, 0)$.

Khoảng cách JM là:
$$
JM = \sqrt{(20 + 10\sqrt{3} - 20)^2 + (30 - 30)^2 + (0 - 0)^2}
$$
$$
JM = \sqrt{(10\sqrt{3})^2}
$$
$$
JM = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \text{ mét}
$$

Vậy, độ dài đoạn thẳng JM là 17.32 mét.