Cho các số thực không âm a,b,c,d thỏa mãn a+b+c+d=2 Tìm GTNN của biểu thức
$\frac{a}{\left(4b^{5}+1\right)}+\frac{b}{\left(4c^{5}+1\right)}+\frac{c}{\left(4d^{5}+1\right)}+\frac{d}{\left(4a^{5}+1\right)}$Giúp mình với!

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{a}{4b^5 + 1} + \frac{b}{4c^5 + 1} + \frac{c}{4d^5 + 1} + \frac{d}{4a^5 + 1}$ với điều kiện $a + b + c + d = 2$ và $a, b, c, d \geq 0$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát và bất đẳng thức.

Bước 1: Xét trường hợp $a = b = c = d = \frac{1}{2}$:
$$ A = \frac{\frac{1}{2}}{4\left(\frac{1}{2}\right)^5 + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{4\left(\frac{1}{2}\right)^5 + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{4\left(\frac{1}{2}\right)^5 + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{4\left(\frac{1}{2}\right)^5 + 1} $$
$$ = 4 \times \frac{\frac{1}{2}}{4 \times \frac{1}{32} + 1} $$
$$ = 4 \times \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{8} + 1} $$
$$ = 4 \times \frac{\frac{1}{2}}{\frac{9}{8}} $$
$$ = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{8}{9} $$
$$ = 4 \times \frac{4}{9} $$
$$ = \frac{16}{9} $$

Bước 2: Xét trường hợp $a = 2, b = c = d = 0$:
$$ A = \frac{2}{4 \cdot 0^5 + 1} + \frac{0}{4 \cdot 0^5 + 1} + \frac{0}{4 \cdot 0^5 + 1} + \frac{0}{4 \cdot 2^5 + 1} $$
$$ = \frac{2}{1} + 0 + 0 + 0 $$
$$ = 2 $$

Bước 3: So sánh các giá trị đã tính:
- Khi $a = b = c = d = \frac{1}{2}$, ta có $A = \frac{16}{9}$.
- Khi $a = 2, b = c = d = 0$, ta có $A = 2$.

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là $\frac{16}{9}$, đạt được khi $a = b = c = d = \frac{1}{2}$.

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là $\frac{16}{9}$, đạt được khi $a = b = c = d = \frac{1}{2}$.

Cho các số thực không âm a,b,c,d thỏa mãn a+b+c+d=2 Tìm GTNN của biểu thức \(\frac{a}{\left(4b^{5}+1\right)}+\frac{b}{\left(4c^{5}+1\right)}+\frac{c}{\left(4d^{5}+1\right)}+\frac{d}{\left(4a^{5}+1\righ...