Câu 3.
a) Đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (Oyz).
b) Điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (Oxy) có tọa độ
c) Do thực tế công việc, người ta cần xác định vị trí điểm thuộc đường ống và vị trí điểm thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài các đoạn đường AB,BC,AC nhỏ nhất. Ta có
d) Giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài các đoạn đường AB, BC, AC làm tròn đến hàng phần chục bằng 45,5 m.
Lập luận từng bước:
1. Xác định điểm B trên đường thẳng d:
- Đường thẳng d có phương trình tham số:
- Điểm B thuộc đường thẳng d nên có tọa độ .
2. Xác định điểm C trên mặt đất:
- Mặt đất là mặt phẳng (Oxy), do đó điểm C thuộc mặt đất có tọa độ .
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài các đoạn đường AB, BC, AC:
- Tọa độ của điểm A là .
- Tọa độ của điểm B là .
- Tọa độ của điểm C là .
4. Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
- Độ dài đoạn thẳng AB:
- Độ dài đoạn thẳng BC:
- Độ dài đoạn thẳng AC:
5. Tổng độ dài các đoạn đường AB, BC, AC:
-
6. Để tìm giá trị nhỏ nhất của S, ta cần tối ưu hóa các biến m, n, b sao cho .
7. Áp dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của S:
- Gọi
- Tính đạo hàm và giải phương trình để tìm giá trị của b.
8. Sau khi tìm được giá trị của b, thay vào phương trình để tìm giá trị của m và n.
9. Thay các giá trị của m, n, b vào công thức tính S để tìm giá trị nhỏ nhất của S.
10. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục: Giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài các đoạn đường AB, BC, AC làm tròn đến hàng phần chục bằng 45,5 m.
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài các đoạn đường AB, BC, AC làm tròn đến hàng phần chục bằng 45,5 m.
Câu 4.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài.
Điều này đúng vì người chơi chọn ngẫu nhiên một trong hai đồng xu, do đó xác suất chọn đồng xu cân bằng là .
Điều này sai. Nếu người chơi chọn đồng xu cân bằng, xác suất xuất hiện mặt ngửa ở mỗi lần tung là . Do đó, xác suất ba lần tung đều xuất hiện mặt ngửa là:
c) Xác suất người đó chọn được đồng xu cân bằng biết rằng kết quả ba lần tung đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa là 0,25 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Ta cần tính xác suất , tức là xác suất người chơi chọn đồng xu cân bằng biết rằng ba lần tung đều xuất hiện mặt ngửa. Áp dụng công thức Bayes:
Trước tiên, ta cần tính , tức là xác suất ba lần tung đều xuất hiện mặt ngửa. Ta có:
Trong đó:
- (như đã tính ở trên),
- ,
- (vì người chơi chọn ngẫu nhiên một trong hai đồng xu),
- là xác suất ba lần tung đều xuất hiện mặt ngửa khi chọn đồng xu thiên lệch, tức là:
Do đó:
Bây giờ, ta tính :
Vậy xác suất người đó chọn được đồng xu cân bằng biết rằng kết quả ba lần tung đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa là khoảng 0,23 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
d) Biết rằng đồng xu được chọn tung ba lần đều xuất hiện mặt ngửa, xác suất người chơi đó tung lần thứ tư tiếp tục xuất hiện mặt ngửa là 0,69 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Ta cần tính xác suất tung lần thứ tư tiếp tục xuất hiện mặt ngửa, biết rằng ba lần tung trước đều xuất hiện mặt ngửa. Ta có:
Trong đó:
- ,
- ,
- (như đã tính ở trên),
- .
Do đó:
Vậy xác suất người chơi đó tung lần thứ tư tiếp tục xuất hiện mặt ngửa là khoảng 0,69 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 1.
Cô Bình bắt đầu gửi tiền khi con cô tròn 3 tuổi và sẽ tiếp tục gửi cho đến khi con cô tròn 18 tuổi. Như vậy, tổng thời gian gửi tiết kiệm là:
Mỗi năm có 12 tháng, do đó tổng số tháng gửi tiết kiệm là:
Lãi suất mỗi tháng là 0,3%, tức là:
Số tiền gửi mỗi tháng là 1,5 triệu đồng.
Ta sử dụng công thức tính số tiền cuối kỳ trong hình thức lãi kép:
Trong đó:
- là số tiền cuối kỳ.
- là số tiền gửi mỗi tháng.
- là lãi suất mỗi tháng.
- là số tháng gửi tiết kiệm.
Thay các giá trị vào công thức:
Tính toán phần trong ngoặc trước:
Do đó:
Nhân với số tiền gửi mỗi tháng:
Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo triệu đồng:
Vậy, cô Bình sẽ tiết kiệm được khoảng 301 triệu đồng vào thời điểm con cô tròn 18 tuổi.
Câu 2.
Trước tiên, ta tính diện tích đáy ABC:
Diện tích tam giác ABC là:
Tiếp theo, ta tính thể tích khối chóp S.ABC. Để làm điều này, ta cần biết chiều cao SA của chóp. Ta sẽ sử dụng thông tin về khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là . Ta sẽ sử dụng công thức tính thể tích khối chóp:
Ta cũng biết rằng thể tích khối chóp S.ABC có thể được tính theo hai cách khác nhau:
Trong đó, là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Ta cần tính diện tích tam giác SBC để tiếp tục.
Diện tích tam giác SBC:
Thể tích khối chóp S.ABC theo cách thứ hai:
Bây giờ, ta cần tìm SA. Ta biết rằng:
Do đó:
Từ đây, ta có:
Ta cần tìm SC. Ta biết rằng:
Vậy:
Cuối cùng, ta tính thể tích khối chóp S.ABC:
Đáp số: 8