giúp mk ạ. Câu 3. Cho hàm số $f(x)=\sin x-e^x.$ 1,5. Sai.,a) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn,$[0;\frac\pi2]~là~-1.$,b) Nghiệm của phương trình $f^\prime(x)=0$ trên đoạn $[0;\frac\pi2]$ là $x=0.$,c) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=\cos x-e^x,~\forall x\in\mathbb R.$,$d)~f(\pi)=1-e^\pi;f(0)=-2.$

Question

Accepted Answer

Câu 3.
Để giải quyết các phát biểu trong câu hỏi, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một.

a) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$ là $-1$.

Đầu tiên, tính đạo hàm của hàm số:
$$ f'(x) = \cos x - e^x $$

Xét dấu của đạo hàm trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$:
- Tại $x = 0$: $f'(0) = \cos 0 - e^0 = 1 - 1 = 0$
- Tại $x = \frac{\pi}{2}$: $f'(\frac{\pi}{2}) = \cos \frac{\pi}{2} - e^{\frac{\pi}{2}} = 0 - e^{\frac{\pi}{2}} < 0$

Do đó, $f'(x)$ chuyển từ dương sang âm tại $x = 0$, tức là $f(x)$ đạt cực đại tại $x = 0$. Trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ sẽ là giá trị của $f(x)$ tại điểm cuối đoạn này:
$$ f(0) = \sin 0 - e^0 = 0 - 1 = -1 $$
$$ f(\frac{\pi}{2}) = \sin \frac{\pi}{2} - e^{\frac{\pi}{2}} = 1 - e^{\frac{\pi}{2}} $$

Vì $e^{\frac{\pi}{2}} > 1$, nên $1 - e^{\frac{\pi}{2}} < -1$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$ là $1 - e^{\frac{\pi}{2}}$, không phải là $-1$. Phát biểu này sai.

b) Nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$ là $x = 0$.

Phương trình $f'(x) = 0$:
$$ \cos x - e^x = 0 $$
$$ \cos x = e^x $$

Tại $x = 0$:
$$ \cos 0 = 1 \quad \text{và} \quad e^0 = 1 $$
Do đó, $x = 0$ là nghiệm của phương trình. Phát biểu này đúng.

c) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = \cos x - e^x, \forall x \in \mathbb{R}$.

Đạo hàm của $f(x) = \sin x - e^x$ là:
$$ f'(x) = \cos x - e^x $$
Phát biểu này đúng.

d) $f(\pi) = 1 - e^\pi; f(0) = -2$.

Tính giá trị của hàm số tại các điểm:
$$ f(\pi) = \sin \pi - e^\pi = 0 - e^\pi = -e^\pi $$
$$ f(0) = \sin 0 - e^0 = 0 - 1 = -1 $$

Phát biểu này sai vì $f(0) = -1$, không phải $-2$.

Kết luận:
- Phát biểu a) sai.
- Phát biểu b) đúng.
- Phát biểu c) đúng.
- Phát biểu d) sai.