Giúp mình với an Phần 3. Câu trả lời ngắn.,Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 4.,Câu 1. Tính khoảng cách từ điểm $A(2;3)$ đến tđường thẳng $3x+2y-5=0?$ (Kết quả làm tròn đến 2 chữ,số sau dấu phẩy).,Câu 2. Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 14 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia,hoạt động của Đoàn trường. Tính xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ? (Rết quả làm tròn đến 2 chữ số sau,dấu phẩy).,Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau có thể được tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7?,Câu 4. Một mảnh đất hình Elip có độ dài trục lớn bằng 120m , độ dài trục bé bằng 90m. Tập đoàn,VinGroup dự định xây dựng một trung tâm thương mại Vincom trong một hình chữ nhật nội tiếp của Eip,như hình vẽ. Tính diện tích xây dựng Vincom lớn nhất (đơn vị mét vuông).,Trang 2/3

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để tính khoảng cách từ điểm $ A(2;3) $ đến đường thẳng $ 3x + 2y - 5 = 0 $, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Công thức khoảng cách $ d $ từ điểm $ (x_1, y_1) $ đến đường thẳng $ ax + by + c = 0 $ là:
$$ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

Trong bài này, ta có:
- Điểm $ A(2;3) $, tức là $ x_1 = 2 $ và $ y_1 = 3 $
- Đường thẳng $ 3x + 2y - 5 = 0 $, tức là $ a = 3 $, $ b = 2 $, và $ c = -5 $

Áp dụng công thức:
$$ d = \frac{|3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 5|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} $$
$$ d = \frac{|6 + 6 - 5|}{\sqrt{9 + 4}} $$
$$ d = \frac{|7|}{\sqrt{13}} $$
$$ d = \frac{7}{\sqrt{13}} $$

Chuyển về dạng số thập phân và làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy:
$$ d \approx \frac{7}{3.605} \approx 1.94 $$

Vậy khoảng cách từ điểm $ A(2;3) $ đến đường thẳng $ 3x + 2y - 5 = 0 $ là khoảng 1.94.

Câu 2.
Để tính xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ từ 30 học sinh, trong đó có 14 học sinh nữ, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm số học sinh nam:
   Số học sinh nam = Tổng số học sinh - Số học sinh nữ
   = 30 - 14
   = 16 học sinh nam

2. Tính tổng số cách chọn 3 học sinh từ 30 học sinh:
   Ta sử dụng công thức tổ hợp để tính số cách chọn 3 học sinh từ 30 học sinh:
   $$
   C_{30}^3 = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060
   $$

3. Tính số cách chọn 2 nam và 1 nữ:
   - Số cách chọn 2 nam từ 16 nam:
     $$
     C_{16}^2 = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 120
     $$
   - Số cách chọn 1 nữ từ 14 nữ:
     $$
     C_{14}^1 = \frac{14!}{1!(14-1)!} = 14
     $$
   - Tổng số cách chọn 2 nam và 1 nữ:
     $$
     120 \times 14 = 1680
     $$

4. Tính xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ:
   Xác suất = $\frac{\text{Số cách chọn 2 nam và 1 nữ}}{\text{Tổng số cách chọn 3 học sinh}}$
   $$
   P = \frac{1680}{4060} \approx 0.4138
   $$

5. Làm tròn kết quả đến 2 chữ số sau dấu phẩy:
   $$
   P \approx 0.41
   $$

Vậy xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là 0.41.

Câu 3.
Để tạo ra các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, chúng ta sẽ thực hiện như sau:

- Chọn chữ số đầu tiên: Có 7 lựa chọn (vì tất cả các chữ số đều có thể là chữ số đầu tiên).
- Chọn chữ số thứ hai: Có 6 lựa chọn (vì đã chọn 1 chữ số ở bước trước, còn lại 6 chữ số).
- Chọn chữ số thứ ba: Có 5 lựa chọn (vì đã chọn 2 chữ số ở các bước trước, còn lại 5 chữ số).
- Chọn chữ số thứ tư: Có 4 lựa chọn (vì đã chọn 3 chữ số ở các bước trước, còn lại 4 chữ số).
- Chọn chữ số thứ năm: Có 3 lựa chọn (vì đã chọn 4 chữ số ở các bước trước, còn lại 3 chữ số).
- Chọn chữ số thứ sáu: Có 2 lựa chọn (vì đã chọn 5 chữ số ở các bước trước, còn lại 2 chữ số).
- Chọn chữ số thứ bảy: Có 1 lựa chọn (vì đã chọn 6 chữ số ở các bước trước, còn lại 1 chữ số).

Tổng số các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau có thể tạo thành là:
$$ 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 $$

Vậy có 5040 số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau có thể được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Câu 4.
Để tính diện tích xây dựng Vincom lớn nhất, ta cần tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong elip. Ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình của elip:
   Elip có độ dài trục lớn $2a = 120$ m, suy ra $a = 60$ m.
   Elip có độ dài trục bé $2b = 90$ m, suy ra $b = 45$ m.
   Phương trình của elip là:
   $$
   \frac{x^2}{60^2} + \frac{y^2}{45^2} = 1
   $$

2. Xác định tọa độ của đỉnh của hình chữ nhật nội tiếp:
   Giả sử đỉnh của hình chữ nhật nằm trên elip có tọa độ $(x, y)$. Diện tích $S$ của hình chữ nhật nội tiếp là:
   $$
   S = 4xy
   $$
   Vì $(x, y)$ nằm trên elip nên:
   $$
   \frac{x^2}{60^2} + \frac{y^2}{45^2} = 1
   $$

3. Biểu diễn $y$ theo $x$:
   Từ phương trình elip, ta có:
   $$
   \frac{y^2}{45^2} = 1 - \frac{x^2}{60^2}
   $$
   $$
   y^2 = 45^2 \left(1 - \frac{x^2}{60^2}\right)
   $$
   $$
   y = 45 \sqrt{1 - \frac{x^2}{60^2}}
   $$

4. Biểu diễn diện tích $S$ theo $x$:
   $$
   S = 4xy = 4x \cdot 45 \sqrt{1 - \frac{x^2}{60^2}} = 180x \sqrt{1 - \frac{x^2}{60^2}}
   $$

5. Tìm giá trị lớn nhất của $S$:
   Để tìm giá trị lớn nhất của $S$, ta sử dụng phương pháp biến đổi đại lượng. Gọi $k = \frac{x}{60}$, thì $0 < k < 1$. Ta có:
   $$
   S = 180 \cdot 60k \sqrt{1 - k^2} = 10800k \sqrt{1 - k^2}
   $$
   Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $f(k) = k \sqrt{1 - k^2}$.

6. Tìm giá trị lớn nhất của $f(k)$:
   Ta có:
   $$
   f(k) = k \sqrt{1 - k^2}
   $$
   Đạo hàm $f(k)$:
   $$
   f'(k) = \sqrt{1 - k^2} + k \cdot \frac{-2k}{2\sqrt{1 - k^2}} = \sqrt{1 - k^2} - \frac{k^2}{\sqrt{1 - k^2}} = \frac{1 - 2k^2}{\sqrt{1 - k^2}}
   $$
   Đặt $f'(k) = 0$:
   $$
   \frac{1 - 2k^2}{\sqrt{1 - k^2}} = 0 \Rightarrow 1 - 2k^2 = 0 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{2}}
   $$
   Thay $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$ vào $f(k)$:
   $$
   f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}
   $$
   Vậy giá trị lớn nhất của $f(k)$ là $\frac{1}{2}$.

7. Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật:
   $$
   S_{\text{max}} = 10800 \cdot \frac{1}{2} = 5400 \text{ m}^2
   $$

Vậy diện tích xây dựng Vincom lớn nhất là $5400 \text{ m}^2$.