Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI,PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2024 - 2025,Môn: TOÁN - LỚP 7,Thời gian làm bài: 120 phút,(Đề này gồm 05 câu, 01 trang),Câu 1. (1,0 điểm),$1)~B=81.[\frac{12-\frac{12}7-\frac{12}{289}-\frac{12}{85}}{4-\frac47-\frac4{289}-\frac4{85}}:\frac{5+\frac5{13}+\frac5{169}+\frac5{91}}{6+\frac6{13}+\frac6{169}+\frac6{91}}].\frac{10}{3^4}$,$2)~A=\frac1{31}[\frac{31}5(9-\frac12)-\frac{17}2(4+\frac15)]+(\frac12+\frac16+\frac1{12}+...+\frac1{930})$,Câu 2. (2,0 điểm),1) Với $x\geq0$ và x, y thỏa mãn $8|x^2-81|+3|y+1|^{2025}=0$,2) Cho n là số tự nhiên có 2 chữ số. Tìm n biết $n+4$ và 2n là số chính phương.,Câu 3. (3,0 điểm),1))CCho dãy tỉ số bằng nha:: $\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{2024}}{a_{2025}}=\frac{a_{2025}}{a_1}$ (giả sử các tỉ số đã cho đều có nghĩa),Tính giá trị biểu thức $B=\frac{(a_1+a_2+...+a_{2025})^2}{a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_{2025}}.$,2) Cho đa thức bậc hai: $A(x)=ax^2+bx+c$ (x là ẩn; a,b,c là hệ số),a) Tìm a,b,c biết rằng: $A(0)=2024;A(1)=2025;A(-1)=2027$,b) Cho đa thức $B(x)=-2x^3-1$,Tìm đa thức $C(x),$ biết rằng: $A(x).B(x)-C(x)=-4x^5+2x^4-2x^2.$,3) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 2 chữ số lớn hơn 40. Tính xác suất của các biến cố sau:,a) A: "Số tự nhiên được viết ra là số chia hết cho 7",b) B: "Số tự nhiên được viết ra có tổng các chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 9",$9^{\prime\prime}.$,Câu 4. (3,0 điểm),Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D nằm giữa hai điểm B và C sao cho $CDAB-OH.$,Câu 5. (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:,$M=(7x-5y)^{2010}+(2z-3x)^{2020}+(xy+yz+zx-2000)^{2030}+2025$,--- HẾT ---,(Lưu ý: học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay)

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI,PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2024 - 2025,Môn: TOÁN - LỚP 7,Thời gian làm bài: 120 phút,(Đề này gồm 05 câu, 01 trang),Câu 1. (1,0 điểm),$1)~B=81.[\frac{12-\frac{12}7-\frac{12}{289}-\frac{12}{85}}{4-\frac47-\frac4{289}-\frac4{85}}:\frac{5+\frac5{13}+\frac5{169}+\frac5{91}}{6+\frac6{13}+\frac6{169}+\frac6{91}}].\frac{10}{3^4}$,$2)~A=\frac1{31}[\frac{31}5(9-\frac12)-\frac{17}2(4+\frac15)]+(\frac12+\frac16+\frac1{12}+...+\frac1{930})$,Câu 2. (2,0 điểm),1) Với $x\geq0$ và x, y thỏa mãn $8|x^2-81|+3|y+1|^{2025}=0$,2) Cho n là số tự nhiên có 2 chữ số. Tìm n biết $n+4$ và 2n là số chính phương.,Câu 3. (3,0 điểm),1))CCho dãy tỉ số bằng nha:: $\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{2024}}{a_{2025}}=\frac{a_{2025}}{a_1}$ (giả sử các tỉ số đã cho đều có nghĩa),Tính giá trị biểu thức $B=\frac{(a_1+a_2+...+a_{2025})^2}{a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_{2025}}.$,2) Cho đa thức bậc hai: $A(x)=ax^2+bx+c$ (x là ẩn; a,b,c là hệ số),a) Tìm a,b,c biết rằng: $A(0)=2024;A(1)=2025;A(-1)=2027$,b) Cho đa thức $B(x)=-2x^3-1$,Tìm đa thức $C(x),$ biết rằng: $A(x).B(x)-C(x)=-4x^5+2x^4-2x^2.$,3) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 2 chữ số lớn hơn 40. Tính xác suất của các biến cố sau:,a) A: "Số tự nhiên được viết ra là số chia hết cho 7",b) B: "Số tự nhiên được viết ra có tổng các chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 9",$9^{\prime\prime}.$,Câu 4. (3,0 điểm),Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D nằm giữa hai điểm B và C sao cho $CD<\frac12CB.$,Trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho $BE=CD.$ Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ,từ D và E cắt các đường thẳng AC và AB lần lượt ở K và F.,a) Chứng minh rằng: $CK=BF.$,b) Đường thẳng BC cắt FK tại điểm I . Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng,FK và $EK//FD.$,c) Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với FK cắt đường cao AH của $\Delta ABC(H\in BC)$,tại O. Chứng minh: $AH>AB-OH.$,Câu 5. (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:,$M=(7x-5y)^{2010}+(2z-3x)^{2020}+(xy+yz+zx-2000)^{2030}+2025$,--- HẾT ---,(Lưu ý: học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay)

Accepted Answer

Câu 1. $1)~B=81.[\frac{12-\frac{12}7-\frac{12}{289}-\frac{12}{85}}{4-\frac47-\frac4{289}-\frac4{85}}:\frac{5+\frac5{13}+\frac5{169}+\frac5{91}}{6+\frac6{13}+\frac6{169}+\frac6{91}}].\frac{10}{3^4}$ $=\frac{3^4}{3^4}.[(12:4):(\frac{\frac{12}{7}}{\frac{4}{7}}+\frac{\frac{12}{289}}{\frac{4}{289}}+\frac{\frac{12}{85}}{\frac{4}{85}}):(\frac{5}{6}+\frac{\frac{5}{13}}{\frac{6}{13}}+\frac{\frac{5}{169}}{\frac{6}{169}}+\frac{\frac{5}{91}}{\frac{6}{91}})]$ $=1\times [3:(\frac{5}{6}+\frac{5}{6}+\frac{5}{6}+\frac{5}{6})]$ $=3:\frac{20}{6}=3\times \frac{6}{20}=\frac{9}{10}$ $2)~A=\frac1{31}[\frac{31}5(9-\frac12)-\frac{17}2(4+\frac15)]+(\frac12+\frac16+\frac1{12}+...+\frac1{930})$ $=\frac{1}{31}\times (\frac{31}{5}\times \frac{17}{2}-\frac{17}{2}\times \frac{21}{5})+(\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{30\times 31})$ $=\frac{1}{31}\times \frac{17}{2}\times (\frac{31}{5}-\frac{21}{5})+(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{30}-\frac{1}{31})$ $=\frac{1}{31}\times \frac{17}{2}\times 2+\frac{1}{1}-\frac{1}{31}$ $=\frac{17}{31}+\frac{30}{31}=\frac{47}{31}$ Câu 2. 1) Ta có $8|x^2-81|+3|y+1|^{2025}=0$ Vì $8|x^2-81|\geq 0$ và $3|y+1|^{2025}\geq 0$ nên để tổng của chúng bằng 0 thì mỗi số hạng phải bằng 0. Do đó: $8|x^2-81|=0$ và $3|y+1|^{2025}=0$ $|x^2-81|=0$ và $|y+1|^{2025}=0$ $x^2=81$ và $y+1=0$ Vì $x\geq 0$ nên $x=9$ và $y=-1$ 2) Ta có $n+4$ và $2n$ là số chính phương. Suy ra $n+4>2n$ Vậy $n<4$ Mà $n$ là số tự nhiên có 2 chữ số nên $n=10$ Thử lại: $10+4=14$ và $2\times 10=20$ không là số chính phương. Vậy không có số tự nhiên $n$ thoả mãn đề bài. Câu 3. 1) Ta có: $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{a_2}{a_3} = \ldots = \frac{a_{2024}}{a_{2025}} = \frac{a_{2025}}{a_1} $$ Gọi tỉ số này là $ k $, ta có: $$ a_1 = k \cdot a_2, \quad a_2 = k \cdot a_3, \quad \ldots, \quad a_{2024} = k \cdot a_{2025}, \quad a_{2025} = k \cdot a_1 $$ Nhân liên tiếp các biểu thức trên, ta có: $$ a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{2025} = k^{2025} \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{2025} $$ Do đó: $$ k^{2025} = 1 \implies k = 1 $$ Vậy $ a_1 = a_2 = \ldots = a_{2025} $. Gọi $ a_1 = a_2 = \ldots = a_{2025} = a $. Biểu thức $ B $ trở thành: $$ B = \frac{(a + a + \ldots + a)^2}{a^2 + a^2 + \ldots + a^2} = \frac{(2025a)^2}{2025a^2} = \frac{2025^2a^2}{2025a^2} = 2025 $$ Vậy giá trị của biểu thức $ B $ là: $$ B = 2025 $$ 2) a) Ta có: $$ A(0) = c = 2024 $$ $$ A(1) = a + b + c = 2025 \implies a + b + 2024 = 2025 \implies a + b = 1 $$ $$ A(-1) = a - b + c = 2027 \implies a - b + 2024 = 2027 \implies a - b = 3 $$ Giải hệ phương trình: $$ \begin{cases} a + b = 1 \ a - b = 3 \end{cases} $$ Cộng hai phương trình: $$ 2a = 4 \implies a = 2 $$ Thay $ a = 2 $ vào $ a + b = 1 $: $$ 2 + b = 1 \implies b = -1 $$ Vậy $ a = 2 $, $ b = -1 $, $ c = 2024 $. b) Ta có: $$ A(x) = 2x^2 - x + 2024 $$ $$ B(x) = -2x^3 - 1 $$ Ta cần tìm $ C(x) $ sao cho: $$ A(x) \cdot B(x) - C(x) = -4x^5 + 2x^4 - 2x^2 $$ Tính $ A(x) \cdot B(x) $: $$ A(x) \cdot B(x) = (2x^2 - x + 2024)(-2x^3 - 1) $$ $$ = 2x^2(-2x^3 - 1) - x(-2x^3 - 1) + 2024(-2x^3 - 1) $$ $$ = -4x^5 - 2x^2 + 2x^4 + x - 4048x^3 - 2024 $$ $$ = -4x^5 + 2x^4 - 4048x^3 - 2x^2 + x - 2024 $$ Do đó: $$ -4x^5 + 2x^4 - 4048x^3 - 2x^2 + x - 2024 - C(x) = -4x^5 + 2x^4 - 2x^2 $$ Vậy: $$ C(x) = -4048x^3 + x - 2024 $$ 3) a) Số tự nhiên có 2 chữ số lớn hơn 40 là từ 41 đến 99, tổng cộng có 59 số. Số chia hết cho 7 trong khoảng này là: 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98. Tổng cộng có 9 số. Xác suất của biến cố $ A $ là: $$ P(A) = \frac{9}{59} $$ b) Số có tổng các chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 9 trong khoảng từ 41 đến 99 là: 45, 54, 63, 72, 81, 90. Tổng cộng có 6 số. Xác suất của biến cố $ B $ là: $$ P(B) = \frac{6}{59} $$ Đáp số: 1) $ B = 2025 $ 2) a) $ a = 2 $, $ b = -1 $, $ c = 2024 $ b) $ C(x) = -4048x^3 + x - 2024 $ 3) a) $ P(A) = \frac{9}{59} $ b) $ P(B) = \frac{6}{59} $ Câu 4. a) Ta có: $BD=BC-CD=BC-BE=EC$ $\widehat{B}=\widehat{C}$ (vì $\Delta ABC$ cân tại A) $\widehat{BDF}=\widehat{CEK}=90^{\circ}$ Do đó $\Delta BDF=\Delta CEK(cạnh kề với góc vuông và góc kề với cạnh đó)$ Suy ra $CK=BF$ b) Ta có: $\widehat{FID}=\widehat{CIK}$ (đối đỉnh) $\widehat{DFI}=\widehat{CKI}=90^{\circ}$ Do đó $\Delta DFI=\Delta CKI(cạnh kề với góc vuông và góc kề với cạnh đó)$ Suy ra $IF=IK$ và $FD=EK$ c) Ta có: $AH=AO+OH$ Ta sẽ chứng minh $AO>AB$ Xét $\Delta AOB$ và $\Delta AOF$ Ta có: $AB=AF$ (vì $\Delta ABF$ vuông cân tại F) $OA$ chung $\widehat{BAO}<\widehat{FAO}$ (vì $\widehat{BAO}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$ và $\widehat{FAO}>\frac{1}{2}\widehat{BAC})$ Do đó $\Delta AOB<\Delta AOF$ Suy ra $AO>AB$ Vậy $AH>AB-OH$ Câu 5. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ M = (7x - 5y)^{2010} + (2z - 3x)^{2020} + (xy + yz + zx - 2000)^{2030} + 2025 $, ta sẽ xét từng thành phần của biểu thức này. 1. Xét thành phần đầu tiên: $ (7x - 5y)^{2010} $ Ta thấy rằng $ (7x - 5y)^{2010} \geq 0 $ vì mọi số thực lũy thừa chẵn đều không âm. Giá trị nhỏ nhất của $ (7x - 5y)^{2010} $ là 0, đạt được khi $ 7x - 5y = 0 $. 2. Xét thành phần thứ hai: $ (2z - 3x)^{2020} $ Tương tự, $ (2z - 3x)^{2020} \geq 0 $ vì mọi số thực lũy thừa chẵn đều không âm. Giá trị nhỏ nhất của $ (2z - 3x)^{2020} $ là 0, đạt được khi $ 2z - 3x = 0 $. 3. Xét thành phần thứ ba: $ (xy + yz + zx - 2000)^{2030} $ Cũng giống như trên, $ (xy + yz + zx - 2000)^{2030} \geq 0 $ vì mọi số thực lũy thừa chẵn đều không âm. Giá trị nhỏ nhất của $ (xy + yz + zx - 2000)^{2030} $ là 0, đạt được khi $ xy + yz + zx - 2000 = 0 $. 4. Xét thành phần cuối cùng: 2025 Thành phần này là hằng số và không phụ thuộc vào $ x, y, z $. Bây giờ, ta kết hợp tất cả các thành phần lại để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ M $: $$ M = (7x - 5y)^{2010} + (2z - 3x)^{2020} + (xy + yz + zx - 2000)^{2030} + 2025 $$ Giá trị nhỏ nhất của $ M $ sẽ xảy ra khi tất cả các thành phần lũy thừa chẵn đều bằng 0: $$ (7x - 5y)^{2010} = 0 $$ $$ (2z - 3x)^{2020} = 0 $$ $$ (xy + yz + zx - 2000)^{2030} = 0 $$ Khi đó, ta có: $$ M = 0 + 0 + 0 + 2025 = 2025 $$ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ M $ là 2025, đạt được khi $ 7x - 5y = 0 $, $ 2z - 3x = 0 $, và $ xy + yz + zx - 2000 = 0 $. Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của $ M $ là 2025.