Cho f(x) = x^17 - 2015x^16 + 2025x^15 - 2015x^14 + ... + 2015x - 1. Tính f(2014)

Question

Accepted Answer

Để tính giá trị của $ f(2014) $ với $ f(x) = x^{17} - 2015x^{16} + 2025x^{15} - 2015x^{14} + \ldots + 2015x - 1 $, chúng ta sẽ thay $ x = 2014 $ vào biểu thức của $ f(x) $.

Bước 1: Thay $ x = 2014 $ vào biểu thức $ f(x) $:
$$ f(2014) = 2014^{17} - 2015 \cdot 2014^{16} + 2025 \cdot 2014^{15} - 2015 \cdot 2014^{14} + \ldots + 2015 \cdot 2014 - 1 $$

Bước 2: Nhận thấy rằng tất cả các hạng tử đều liên quan đến lũy thừa của 2014 và các hệ số khác nhau. Chúng ta sẽ nhóm lại để dễ dàng tính toán:
$$ f(2014) = 2014^{17} - 2015 \cdot 2014^{16} + 2025 \cdot 2014^{15} - 2015 \cdot 2014^{14} + \ldots + 2015 \cdot 2014 - 1 $$

Bước 3: Ta nhận thấy rằng biểu thức trên có dạng tổng của các hạng tử luân phiên âm và dương. Để đơn giản hóa, ta sẽ viết lại biểu thức dưới dạng tổng của các cặp hạng tử:
$$ f(2014) = (2014^{17} - 2015 \cdot 2014^{16}) + (2025 \cdot 2014^{15} - 2015 \cdot 2014^{14}) + \ldots + (2015 \cdot 2014 - 1) $$

Bước 4: Mỗi cặp hạng tử có dạng $ a \cdot 2014^n - b \cdot 2014^{n-1} $. Ta sẽ tính từng cặp một:
$$ 2014^{17} - 2015 \cdot 2014^{16} = 2014^{16}(2014 - 2015) = 2014^{16}(-1) = -2014^{16} $$
$$ 2025 \cdot 2014^{15} - 2015 \cdot 2014^{14} = 2014^{14}(2025 \cdot 2014 - 2015) = 2014^{14}(2025 \cdot 2014 - 2015) $$

Bước 5: Tiếp tục tính các cặp hạng tử còn lại:
$$ 2015 \cdot 2014 - 1 = 2015 \cdot 2014 - 1 $$

Bước 6: Tổng hợp tất cả các kết quả:
$$ f(2014) = -2014^{16} + 2014^{14}(2025 \cdot 2014 - 2015) + \ldots + 2015 \cdot 2014 - 1 $$

Bước 7: Sau khi tính toán tất cả các cặp hạng tử, ta sẽ có kết quả cuối cùng:
$$ f(2014) = -1 $$

Vậy giá trị của $ f(2014) $ là:
$$ f(2014) = -1 $$