Bài 12:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.
a) Chứng minh
- Xét hai tam giác và :
- Ta có (giả thiết).
- (do và là tia đối của ).
- là cạnh chung của hai tam giác.
Vậy, theo trường hợp cạnh - góc vuông - cạnh (c.g.c) của tam giác vuông, ta có .
b) Chứng minh
- Từ phần a, ta có , do đó .
- Vì và là hai góc so le trong, nên .
c) Chứng minh và
- Từ phần a, ta có , do đó và .
- Vì và là đường chung, nên .
- Từ , ta có , do đó .
d) Chứng minh ba điểm I, G, C thẳng hàng
- Gọi là giao điểm của và , là trung điểm của .
- Ta cần chứng minh thẳng hàng.
- Vì là đường trung tuyến của tam giác vuông tại , nên là trung điểm của .
- Do đó, cũng là đường cao của tam giác vuông , và là chân đường cao từ xuống .
- Vì là trung điểm của , và là trung điểm của , nên là đường trung bình của tam giác .
- Do đó, .
- Vì nằm trên , và , nên thẳng hàng.
Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.
Bài 13:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.
a) Chứng minh
1. Xét hai tam giác và :
- Ta có (do điểm M được chọn sao cho ).
- Góc (vì AE là tia phân giác của góc ).
- Cạnh là cạnh chung của hai tam giác.
2. Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có .
b) Trên tia đối của tia EM lấy điểm N sao cho . Chứng minh
1. Xét hai tam giác và :
- Ta có (theo giả thiết).
- (do đã chứng minh ở phần a, nên ).
- Cạnh và là hai cạnh tương ứng.
2. Góc (vì N và C nằm trên tia đối của EM, nên hai góc này là đối đỉnh).
3. Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có .
c) Chứng minh ba điểm A, B, N thẳng hàng
1. Từ phần b, ta có , do đó .
2. Vì và , nên là hai góc đối đỉnh.
3. Do đó, , chứng tỏ ba điểm A, B, N thẳng hàng.
Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.