Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP và CQ cắt nhau tại G. Trên tia đối của PB lấy điểm E sao cho PE = PG. Trên tuyệt đối của tia QG lấy điểm F sao cho QF =QG. Chứng minh GB = GE và GC = GE

Để chứng minh $$ và $$, ta sẽ sử dụng một số tính chất của đường trung tuyến và điểm trọng tâm trong tam giác. Bước 1: Tính chất của điểm trọng tâm G Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC, do đó G chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn, trong đó đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm bằng 2/3 độ dài của đường trung tuyến, và đoạn từ trọng tâm đến cạnh đối diện bằng 1/3 độ dài của đường trung tuyến. Bước 2: Xét tam giác BPG Vì G là trọng tâm, ta có: - $$ Theo giả thiết, trên tia đối của PB, ta lấy điểm E sao cho $$. Do đó, ta có: - $$ Bước 3: Chứng minh $$ Ta có: - $$ Và: - $$ Vậy, $$. Bước 4: Xét tam giác CQG Tương tự, vì G là trọng tâm, ta có: - $$ Theo giả thiết, trên tia đối của QG, ta lấy điểm F sao cho $$. Do đó, ta có: - $$ Bước 5: Chứng minh $$ Ta có: - $$ Và: - $$ Vậy, $$. Kết luận: Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng $$ và $$.