mslwlwllwlwllwlwlwlkwjen

Câu 2. Để kiểm tra điểm nào thuộc đồ thị hàm số $y = -3x^2$, ta thay tọa độ của từng điểm vào phương trình và kiểm tra xem có thỏa mãn hay không. - Với điểm $A(1; -3)$: Thay $x = 1$ vào phương trình $y = -3x^2$: $y = -3 \times 1^2 = -3$ Vậy điểm $A(1; -3)$ thuộc đồ thị. - Với điểm $B(1; 3)$: Thay $x = 1$ vào phương trình $y = -3x^2$: $y = -3 \times 1^2 = -3$ Vậy điểm $B(1; 3)$ không thuộc đồ thị. - Với điểm $C(0; -3)$: Thay $x = 0$ vào phương trình $y = -3x^2$: $y = -3 \times 0^2 = 0$ Vậy điểm $C(0; -3)$ không thuộc đồ thị. - Với điểm $D(-1; 3)$: Thay $x = -1$ vào phương trình $y = -3x^2$: $y = -3 \times (-1)^2 = -3$ Vậy điểm $D(-1; 3)$ không thuộc đồ thị. Kết luận: Điểm thuộc đồ thị hàm số $y = -3x^2$ là $A(1; -3)$. Câu 3. Phương trình $x^2 - 4x + 1 = 0$ là phương trình bậc hai. Theo công thức tổng các nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$, tổng các nghiệm là $-\frac{b}{a}$. Trong phương trình $x^2 - 4x + 1 = 0$, ta có: - $a = 1$ - $b = -4$ - $c = 1$ Tổng các nghiệm của phương trình là: \[ -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4 \] Vậy tổng các nghiệm của phương trình $x^2 - 4x + 1 = 0$ là 4. Đáp án đúng là: D. 4. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng khi hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau, khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn sẽ bằng tổng của hai bán kính. Bước 1: Xác định bán kính của hai đường tròn. - Đường tròn (O; 3cm) có bán kính là 3 cm. - Đường tròn (O'; 6cm) có bán kính là 6 cm. Bước 2: Tính tổng của hai bán kính. - Tổng của hai bán kính là: 3 cm + 6 cm = 9 cm. Bước 3: Kết luận. - Khi hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau, khoảng cách giữa tâm của hai đường tròn (OO') sẽ bằng tổng của hai bán kính. - Do đó, độ dài đoạn OO' là 9 cm. Vậy đáp án đúng là B. 9cm. Câu 5. Để tìm giá trị của \(a\) trong hàm số \(y = ax^2\) khi biết đồ thị đi qua điểm \(A(2; \frac{4}{3})\), ta thực hiện các bước sau: 1. Thay tọa độ của điểm \(A(2; \frac{4}{3})\) vào phương trình \(y = ax^2\): \[ \frac{4}{3} = a \cdot 2^2 \] 2. Tính \(2^2\): \[ 2^2 = 4 \] Vậy phương trình trở thành: \[ \frac{4}{3} = a \cdot 4 \] 3. Giải phương trình để tìm \(a\): \[ a = \frac{\frac{4}{3}}{4} \] 4. Chia phân số: \[ a = \frac{4}{3} \div 4 = \frac{4}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{4 \times 1}{3 \times 4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] Vậy giá trị của \(a\) là \(\frac{1}{3}\). Đáp án đúng là: \(A.~\frac{1}{3}\). Câu 6. Để phương trình $x^2 - ax - 6 = 0$ có một nghiệm là $x = 3$, ta thay $x = 3$ vào phương trình và giải tìm giá trị của $a$. Thay $x = 3$ vào phương trình: \[ 3^2 - a \cdot 3 - 6 = 0 \] Tính toán: \[ 9 - 3a - 6 = 0 \] \[ 3 - 3a = 0 \] \[ 3a = 3 \] \[ a = 1 \] Vậy giá trị của $a$ để phương trình có một nghiệm là $x = 3$ là $a = 1$. Đáp án đúng là: $B.~a = 1$. Câu 7. Trước tiên, ta biết rằng trong tam giác vuông ABC với góc A là góc vuông, ta có: \[ \sin \widehat{ABC} = \frac{\text{AC}}{\text{BC}} \] Theo đề bài, ta có: \[ \sin \widehat{ABC} = \frac{2}{3} \] \[ BC = 9 \, \text{cm} \] Áp dụng công thức trên, ta có: \[ \frac{\text{AC}}{9} = \frac{2}{3} \] Từ đây, ta giải ra AC: \[ \text{AC} = 9 \times \frac{2}{3} = 6 \, \text{cm} \] Vậy độ dài cạnh AC là 6 cm. Đáp án đúng là: C. 6 cm. Câu 8. Phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có một nghiệm $x = -1$. Thay $x = -1$ vào phương trình, ta có: \[ a(-1)^2 + b(-1) + c = 0 \] \[ a - b + c = 0 \] Do đó, đẳng thức đúng là: \[ D.~a - b + c = 0 \] Câu 1 Để tính giá trị của biểu thức \( x_1^2 + x_2^2 \), ta sẽ sử dụng các công thức liên quan đến tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai. Phương trình đã cho là: \[ x^2 - 2x - 1 = 0 \] Theo định lý Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -1 \] Biểu thức \( x_1^2 + x_2^2 \) có thể được viết lại dưới dạng: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2 \] Thay các giá trị từ định lý Viète vào biểu thức trên: \[ x_1^2 + x_2^2 = 2^2 - 2(-1) \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 4 + 2 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 6 \] Vậy giá trị của biểu thức \( x_1^2 + x_2^2 \) là 6. Câu 2 Điều kiện xác định: \( x > 0, x \neq 1 \). a) Rút gọn biểu thức \( A \): \[ A = \left( \frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x} \] Chúng ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức: Phần 1: \[ \frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} + 2} = \sqrt{x} \] Phần 2: \[ \frac{\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{x}} \] Vậy biểu thức \( A \) trở thành: \[ A = \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x} \] Rút gọn tiếp: \[ A = \left( \frac{x - 1}{\sqrt{x}} \right) \times \frac{x}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(x - 1)x}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] \[ A = \frac{x(x - 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P = A - 4\sqrt{x} \): \[ P = \frac{x(x - 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} - 4\sqrt{x} \] Chúng ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \) bằng cách sử dụng phương pháp biến đổi và tìm giá trị cực tiểu. \[ P = \frac{x^2 - x}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} - 4\sqrt{x} \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có: \[ P = \frac{t^4 - t^2}{t(t + 1)} - 4t = \frac{t^3 - t}{t + 1} - 4t \] \[ P = \frac{t^3 - t - 4t(t + 1)}{t + 1} = \frac{t^3 - t - 4t^2 - 4t}{t + 1} = \frac{t^3 - 4t^2 - 5t}{t + 1} \] \[ P = \frac{t(t^2 - 4t - 5)}{t + 1} \] Ta thấy rằng \( t^2 - 4t - 5 = (t - 5)(t + 1) \), do đó: \[ P = \frac{t(t - 5)(t + 1)}{t + 1} = t(t - 5) \] \[ P = t^2 - 5t \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta sử dụng phương pháp tìm giá trị cực tiểu của hàm bậc hai: \[ P = t^2 - 5t \] Đạo hàm của \( P \): \[ P' = 2t - 5 \] Đặt \( P' = 0 \): \[ 2t - 5 = 0 \Rightarrow t = \frac{5}{2} \] Thay \( t = \frac{5}{2} \) vào \( P \): \[ P = \left( \frac{5}{2} \right)^2 - 5 \left( \frac{5}{2} \right) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} = -\frac{25}{4} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là: \[ P_{min} = -\frac{25}{4} \] Đáp số: \[ P_{min} = -\frac{25}{4} \] Câu 3 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị của hằng số \( a \) trong công thức \( y = ax^2 \) bằng cách sử dụng thông tin đã cho. 2. Thay giá trị của \( a \) vào công thức để tìm thời gian \( x \) khi vật rơi xuống mặt đất (tức là \( y = 500 \) m). Bước 1: Xác định giá trị của \( a \) Biết rằng tại thời điểm \( x = 5 \) giây, vật đi được quãng đường \( y = 125 \) m. Ta thay vào công thức \( y = ax^2 \): \[ 125 = a \cdot 5^2 \] \[ 125 = a \cdot 25 \] \[ a = \frac{125}{25} \] \[ a = 5 \] Bước 2: Tìm thời gian \( x \) khi vật rơi xuống mặt đất Khi vật rơi xuống mặt đất, quãng đường \( y = 500 \) m. Ta thay \( y = 500 \) và \( a = 5 \) vào công thức \( y = ax^2 \): \[ 500 = 5x^2 \] \[ x^2 = \frac{500}{5} \] \[ x^2 = 100 \] \[ x = \sqrt{100} \] \[ x = 10 \] Vậy, vật sẽ rơi xuống mặt đất sau 10 giây. Đáp số: 10 giây. Câu 4 Gọi số ngày nghỉ lại tại Huế là x (ngày, điều kiện: x > 0 và x < 6). Số ngày nghỉ lại tại Đà Nẵng là: 6 - x (ngày). Tiền chi cho x ngày ở Huế là: 3 500 000 × x (đồng). Tiền chi cho 6 - x ngày ở Đà Nẵng là: 3 000 000 × (6 - x) (đồng). Theo đề bài ta có: 3 500 000 × x + 3 000 000 × (6 - x) = 20 000 000 3 500 000 × x + 18 000 000 - 3 000 000 × x = 20 000 000 500 000 × x = 20 000 000 - 18 000 000 500 000 × x = 2 000 000 x = 2 000 000 : 500 000 x = 4 Vậy số ngày nghỉ lại tại Huế là 4 ngày. Số ngày nghỉ lại tại Đà Nẵng là: 6 - 4 = 2 (ngày). Đáp số: 4 ngày ở Huế, 2 ngày ở Đà Nẵng. Câu 5 a) Ta có $\widehat{ADB}=\widehat{AFB}=90^\circ$ nên tứ giác ABDF nội tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDF là trung điểm của AB. b) Ta có $\widehat{FCD}=\widehat{FBD}$ (cùng chắn cung FD) và $\widehat{FBD}=\widehat{FAD}$ (tứ giác ABDF nội tiếp) nên $\widehat{FCD}=\widehat{FAD}$. Mặt khác, ta có $\widehat{CFD}=\widehat{AFD}$ (chung) nên $\Delta CFD$ đồng dạng với $\Delta AFD$ (g-g). Từ đó ta có $\frac{CF}{CD}=\frac{CA}{CF}$ hay $CF^2=CA.CD$. c) Ta có $\widehat{HDC}=\widehat{HFC}$ (cùng chắn cung HC) và $\widehat{HFC}=\widehat{HAC}$ (cùng chắn cung HC) nên $\widehat{HDC}=\widehat{HAC}$. Mặt khác, ta có $\widehat{HDC}+\widehat{HCD}=90^\circ$ (vì $\widehat{HDC}$ nội tiếp chắn nửa đường tròn) và $\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90^\circ$ (vì $\widehat{HCA}$ nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\widehat{HCD}=\widehat{HCA}$. Từ đó ta có $\widehat{HDC}=\widehat{HAC}$ và $\widehat{HCD}=\widehat{HCA}$ nên $\Delta HDC$ đồng dạng với $\Delta HAC$ (g-g). Từ đó ta có $\frac{HD}{HA}=\frac{HC}{HC}$ hay HD = HA. Do đó, H là trung điểm của AC. Vậy 3 điểm K, E, H thẳng hàng. Câu 6 Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \sqrt{3 - a^2} + \sqrt{3 - b^2} \) với điều kiện \( a^2 \leq 3 \), \( b^2 \leq 3 \) và \( a^2 + b^2 = 4 \), chúng ta sẽ làm như sau: 1. Xác định phạm vi của \( a^2 \) và \( b^2 \): - Từ điều kiện \( a^2 + b^2 = 4 \) và \( a^2 \leq 3 \), \( b^2 \leq 3 \), ta có: \[ 0 \leq a^2 \leq 3 \quad \text{và} \quad 0 \leq b^2 \leq 3 \] - Do \( a^2 + b^2 = 4 \), nên \( a^2 \) và \( b^2 \) phải nằm trong khoảng từ 1 đến 3. 2. Biểu thức \( P \): \[ P = \sqrt{3 - a^2} + \sqrt{3 - b^2} \] 3. Tìm giá trị lớn nhất của \( P \): - Ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ (\sqrt{3 - a^2} + \sqrt{3 - b^2})^2 \leq (1 + 1)(3 - a^2 + 3 - b^2) \] \[ (\sqrt{3 - a^2} + \sqrt{3 - b^2})^2 \leq 2(6 - (a^2 + b^2)) \] \[ (\sqrt{3 - a^2} + \sqrt{3 - b^2})^2 \leq 2(6 - 4) = 4 \] \[ \sqrt{3 - a^2} + \sqrt{3 - b^2} \leq 2 \] - Đẳng thức xảy ra khi \( \sqrt{3 - a^2} = \sqrt{3 - b^2} \), tức là \( a^2 = b^2 \). Với \( a^2 + b^2 = 4 \), ta có \( a^2 = b^2 = 2 \). Vậy giá trị lớn nhất của \( P \) là 2, đạt được khi \( a^2 = b^2 = 2 \). 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \): - Xét trường hợp \( a^2 = 1 \) và \( b^2 = 3 \): \[ P = \sqrt{3 - 1} + \sqrt{3 - 3} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2} \] - Xét trường hợp \( a^2 = 3 \) và \( b^2 = 1 \): \[ P = \sqrt{3 - 3} + \sqrt{3 - 1} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2} \] - Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \), đạt được khi \( a^2 = 1 \) và \( b^2 = 3 \) hoặc ngược lại. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của \( P \) là 2, đạt được khi \( a^2 = b^2 = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \), đạt được khi \( a^2 = 1 \) và \( b^2 = 3 \) hoặc ngược lại.