giải giúp mình Phần tự luận (3 điểm),Câu 1 (1 điểm). Tính đạo hàm của các hàm số sau,$a)~y=x^3-3x^2-6x+1$ $b)~y=2024^x-3\sin x$,Câu 2 (1 điểm). Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập nhau. Xác suất để động,cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,9. Hãy tính xác suất để:,a) Cả hai động cơ đều chạy tốt,b) Có ít nhất một động cơ chạy tốt,Câu 3 (1 điểm).,Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình,7 , có phương trình chuyển động $x=4\sin t.$ trong đó t tính bằng giây và x tính bằng centimet.,,Tìm vị trí, vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm $t=\frac{2\pi}3(s).$ . Tại thời điểm,đó, con lắc di chuyển theo hướng nào?,.....HẾT.....,Câu 4 : 0 $y^\prime=3x^2-6x-6$

Question

giải giúp mình Phần tự luận (3 điểm),Câu 1 (1 điểm). Tính đạo hàm của các hàm số sau,$a)~y=x^3-3x^2-6x+1$ $b)~y=2024^x-3\sin x$,Câu 2 (1 điểm). Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập nhau. Xác suất để động,cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,9. Hãy tính xác suất để:,a) Cả hai động cơ đều chạy tốt,b) Có ít nhất một động cơ chạy tốt,Câu 3 (1 điểm).,Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình,7 , có phương trình chuyển động $x=4\sin t.$ trong đó t tính bằng giây và x tính bằng centimet.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/0f05ac9a99f14380a9bdef19fad8225d.jpg />,Tìm vị trí, vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm $t=\frac{2\pi}3(s).$ . Tại thời điểm,đó, con lắc di chuyển theo hướng nào?,.....HẾT.....,Câu 4 : 0 $y^\prime=3x^2-6x-6$

Accepted Answer

Câu 1
Để tính đạo hàm của các hàm số đã cho, ta áp dụng các công thức đạo hàm cơ bản.

a) $ y = x^3 - 3x^2 - 6x + 1 $

Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và công thức đạo hàm của lũy thừa:
$$ y' = (x^3)' - (3x^2)' - (6x)' + (1)' $$
$$ y' = 3x^2 - 6x - 6 $$

b) $ y = 2024^x - 3\sin x $

Áp dụng công thức đạo hàm của tổng, công thức đạo hàm của hàm mũ và công thức đạo hàm của hàm sin:
$$ y' = (2024^x)' - (3\sin x)' $$
$$ y' = 2024^x \ln(2024) - 3\cos x $$

Vậy đạo hàm của các hàm số là:
a) $ y' = 3x^2 - 6x - 6 $
b) $ y' = 2024^x \ln(2024) - 3\cos x $

Câu 2
a) Xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt:
Xác suất để động cơ I chạy tốt là 0,8.
Xác suất để động cơ II chạy tốt là 0,9.
Vì hai động cơ hoạt động độc lập nhau, nên xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt là:
$$ P(\text{cả hai động cơ đều chạy tốt}) = 0,8 \times 0,9 = 0,72 $$

b) Xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt:
Xác suất để động cơ I không chạy tốt là:
$$ 1 - 0,8 = 0,2 $$
Xác suất để động cơ II không chạy tốt là:
$$ 1 - 0,9 = 0,1 $$
Xác suất để cả hai động cơ đều không chạy tốt là:
$$ 0,2 \times 0,1 = 0,02 $$
Vậy xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt là:
$$ 1 - 0,02 = 0,98 $$

Đáp số:
a) 0,72
b) 0,98

Câu 3
Phương trình chuyển động của con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang là:
$$ x = 4 \sin t $$

Trong đó:
- $ t $ tính bằng giây.
- $ x $ tính bằng centimet.

Bước 1: Tìm vị trí của con lắc tại thời điểm $ t = \frac{2\pi}{3} $ (s).

Thay $ t = \frac{2\pi}{3} $ vào phương trình chuyển động:
$$ x = 4 \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) $$

Biết rằng:
$$ \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Do đó:
$$ x = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ cm} $$

Bước 2: Tìm vận tốc tức thời của con lắc tại thời điểm $ t = \frac{2\pi}{3} $ (s).

Vận tốc tức thời $ v $ của con lắc dao động điều hòa được tính bằng đạo hàm của phương trình chuyển động:
$$ v = \frac{dx}{dt} = 4 \cos t $$

Thay $ t = \frac{2\pi}{3} $ vào phương trình vận tốc:
$$ v = 4 \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) $$

Biết rằng:
$$ \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \cos \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} $$

Do đó:
$$ v = 4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -2 \text{ cm/s} $$

Bước 3: Tìm gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm $ t = \frac{2\pi}{3} $ (s).

Gia tốc tức thời $ a $ của con lắc dao động điều hòa được tính bằng đạo hàm của phương trình vận tốc:
$$ a = \frac{dv}{dt} = -4 \sin t $$

Thay $ t = \frac{2\pi}{3} $ vào phương trình gia tốc:
$$ a = -4 \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) $$

Biết rằng:
$$ \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Do đó:
$$ a = -4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -2\sqrt{3} \text{ cm/s}^2 $$

Bước 4: Xác định hướng chuyển động của con lắc tại thời điểm $ t = \frac{2\pi}{3} $ (s).

Vì vận tốc tức thời $ v = -2 \text{ cm/s} $ là âm, nên con lắc đang chuyển động về phía trái (theo chiều âm của trục x).

Kết luận:
- Vị trí của con lắc tại thời điểm $ t = \frac{2\pi}{3} $ (s) là $ 2\sqrt{3} \text{ cm} $.
- Vận tốc tức thời của con lắc tại thời điểm $ t = \frac{2\pi}{3} $ (s) là $ -2 \text{ cm/s} $.
- Gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm $ t = \frac{2\pi}{3} $ (s) là $ -2\sqrt{3} \text{ cm/s}^2 $.
- Con lắc đang chuyển động về phía trái (theo chiều âm của trục x).

Câu 4
Để giải quyết yêu cầu của bạn, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   - Đạo hàm của $ y = x^3 - 3x^2 - 6x + 1 $ là:
     $$
     y' = 3x^2 - 6x - 6
     $$

2. Tìm điểm cực trị:
   - Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình $ y' = 0 $:
     $$
     3x^2 - 6x - 6 = 0
     $$
   - Chia cả hai vế cho 3:
     $$
     x^2 - 2x - 2 = 0
     $$
   - Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:
     $$
     x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
     $$
     Với $ a = 1 $, $ b = -2 $, $ c = -2 $:
     $$
     x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}
     $$
   - Vậy hai nghiệm là:
     $$
     x_1 = 1 + \sqrt{3}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{3}
     $$

3. Xác định tính chất của các điểm cực trị:
   - Ta kiểm tra dấu của đạo hàm $ y' $ ở các khoảng giữa các nghiệm:
     - Khi $ x < 1 - \sqrt{3} $, chọn $ x = 0 $:
       $$
       y'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 6 = -6 < 0
       $$
     - Khi $ 1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3} $, chọn $ x = 1 $:
       $$
       y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 6 = 3 - 6 - 6 = -9 < 0
       $$
     - Khi $ x > 1 + \sqrt{3} $, chọn $ x = 2 $:
       $$
       y'(2) = 3(2)^2 - 6(2) - 6 = 12 - 12 - 6 = -6 < 0
       $$

- Do đó, $ y' $ đổi dấu từ âm sang dương tại $ x = 1 - \sqrt{3} $ và từ dương sang âm tại $ x = 1 + \sqrt{3} $.

4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị:
   - Tại $ x = 1 - \sqrt{3} $:
     $$
     y(1 - \sqrt{3}) = (1 - \sqrt{3})^3 - 3(1 - \sqrt{3})^2 - 6(1 - \sqrt{3}) + 1
     $$
     $$
     = (1 - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) - 3(1 - 2\sqrt{3} + 3) - 6 + 6\sqrt{3} + 1
     $$
     $$
     = 1 - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3 - 3 + 6\sqrt{3} - 6 + 6\sqrt{3} + 1
     $$
     $$
     = 1 - 3 - 3 - 6 + 1 + 6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}
     $$
     $$
     = -10 + 6\sqrt{3}
     $$

- Tại $ x = 1 + \sqrt{3} $:
     $$
     y(1 + \sqrt{3}) = (1 + \sqrt{3})^3 - 3(1 + \sqrt{3})^2 - 6(1 + \sqrt{3}) + 1
     $$
     $$
     = (1 + 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 3) - 3(1 + 2\sqrt{3} + 3) - 6 - 6\sqrt{3} + 1
     $$
     $$
     = 1 + 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 3 - 3 - 6\sqrt{3} - 9 - 6 - 6\sqrt{3} + 1
     $$
     $$
     = 1 + 3 - 3 - 9 - 6 + 1 + 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3}
     $$
     $$
     = -10 - 6\sqrt{3}
     $$

5. Kết luận:
   - Điểm cực đại là $ (1 - \sqrt{3}, -10 + 6\sqrt{3}) $
   - Điểm cực tiểu là $ (1 + \sqrt{3}, -10 - 6\sqrt{3}) $

Đáp số:
- Điểm cực đại: $ (1 - \sqrt{3}, -10 + 6\sqrt{3}) $
- Điểm cực tiểu: $ (1 + \sqrt{3}, -10 - 6\sqrt{3}) $