Câu 16:
a) Sai vì theo bảng xét dấu đạo hàm ta thấy với mọi và với mọi Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm
b) Sai vì theo bảng xét dấu đạo hàm ta thấy với mọi và với mọi Vậy hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng
c) Đúng vì theo bảng xét dấu đạo hàm ta thấy tại và Ta lại có với mọi với mọi với mọi Vậy hàm số có hai điểm cực trị là và
d) Đúng vì theo bảng xét dấu đạo hàm ta thấy với mọi Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
Câu 17:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định các đường tiệm cận đứng của hàm số .
2. Xác định các giá trị của khi tiến đến các đường tiệm cận đứng.
3. Xác định các giá trị của khi tiến đến vô cực.
4. Xác định các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số .
Bước 1: Xác định các đường tiệm cận đứng của hàm số .
Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số có các đường tiệm cận đứng tại và . Do đó, .
Bước 2: Xác định các giá trị của khi tiến đến các đường tiệm cận đứng.
- Khi , .
- Khi , .
- Khi , .
- Khi , .
Bước 3: Xác định các giá trị của khi tiến đến vô cực.
- Khi , .
- Khi , .
Bước 4: Xác định các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số .
- Các đường tiệm cận đứng của là các giá trị của làm cho mẫu số . Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi và . Do đó, hàm số có hai đường tiệm cận đứng tại và .
- Các tiệm cận ngang của là các giá trị của khi và . Khi và , , do đó , tức là . Vì vậy, hàm số không có tiệm cận ngang.
Do đó, và . Vậy .
Đáp số: .
Câu 18:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số
Bước 2: Tìm các điểm cực trị trong khoảng
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị:
Trong đoạn , ta chỉ quan tâm đến .
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị
- Tại :
- Tại :
- Tại :
Bước 4: So sánh các giá trị đã tính
Các giá trị của hàm số tại các điểm đã xét là:
-
-
-
Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là 2, đạt được khi .
Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là 2, đạt được khi .
Câu 19:
Để xác định số lượng các hệ số dương trong hàm số , chúng ta sẽ dựa vào các đặc điểm của đồ thị hàm số đã cho.
1. Phương pháp giải:
- Xác định dấu của hệ số từ hướng của đồ thị khi tiến đến vô cùng.
- Xác định dấu của hệ số từ giá trị của hàm số tại điểm .
- Xác định dấu của các hệ số và từ các điểm cực trị và điểm uốn của đồ thị.
2. Bước 1: Xác định dấu của hệ số :
- Đồ thị hàm số có dạng cong lên ở phía bên phải (khi tiến đến dương vô cùng). Điều này cho thấy hệ số phải là số dương ().
3. Bước 2: Xác định dấu của hệ số :
- Điểm là giao điểm của đồ thị với trục tung. Từ đồ thị, ta thấy giao điểm này nằm phía trên trục hoành, tức là .
4. Bước 3: Xác định dấu của các hệ số và :
- Đồ thị có hai điểm cực trị, một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Điều này cho thấy hệ số phải là số âm () vì nếu dương thì đồ thị sẽ không có hai điểm cực trị như vậy.
- Hệ số cũng phải là số âm () để đảm bảo rằng đồ thị có hai điểm cực trị như đã mô tả.
5. Kết luận:
- Hệ số dương.
- Hệ số dương.
- Hệ số âm.
- Hệ số âm.
Vậy trong các hệ số , có 2 hệ số mang dấu dương.
Đáp số: 2
Câu 20:
Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, ta cần tính đạo hàm của hàm số này và kiểm tra điều kiện của đạo hàm.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số :
Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, đạo hàm phải nhỏ hơn hoặc bằng 0:
Vì với mọi , nên ta chỉ cần:
Bước 3: Tìm các giá trị nguyên dương của thỏa mãn :
Do đó, các giá trị nguyên dương của là:
Bước 4: Tính tổng các giá trị nguyên dương của :
Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên dương của để hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định là .
Câu 21:
Gọi chiều rộng là (m), .
Chiều dài là (m).
Chiều cao là (m).
Diện tích toàn phần là .
Ta có .
suy ra .
Do đó, đạt GTNN khi .
Vậy chi phí thấp nhất là (nghìn đồng) = 49 triệu đồng.